中国剰余定理 (素イデアル) の変更点

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* (定理) 中国剰余定理 (素イデアル) [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{k}; は自然数
- &mathjax{m_1, m_2, \cdots, m_k}; は整数であり、どの二つも[[互いに素>イデアル#qfe8d6b0]]
- &mathjax{a_1, a_2, \cdots, a_k}; は任意の整数
- &mathjax{I_1, I_2, \cdots, I_k}; は &mathjax{R}; のイデアルであり、どの二つも[[互いに素>イデアル#qfe8d6b0]]
- &mathjax{a_1, a_2, \cdots, a_k}; は任意の &mathjax{R}; の元

** 主張 [#f2274f05]

※ ここでの &mathjax{\mathrm{mod}}; は[[イデアルを法とする合同式>イデアル#ff6daf0d]]であることに注意。
※ ここでの &mathjax{\mathrm{mod}}; は[[イデアルを法とする合同式>イデアル#ff6daf0d]]

#mathjax(x \equiv a_1 ~(\mathrm{mod}~ m_1));
#mathjax(x \equiv a_2 ~(\mathrm{mod}~ m_2));
#mathjax(x \equiv a_1 ~(\mathrm{mod}~ I_1));
#mathjax(x \equiv a_2 ~(\mathrm{mod}~ I_2));
#mathjax(\vdots);
#mathjax(x \equiv a_k ~(\mathrm{mod}~ m_k));
を満たす整数 &mathjax{x}; が &mathjax{m_1m_2\cdots m_k}; を法として一意に存在する。
#mathjax(x \equiv a_k ~(\mathrm{mod}~ I_k));
を満たす &mathjax{R}; の元 &mathjax{x}; が &mathjax{\bigcap_{i=1}^{k} I_i}; を法として一意に存在する。

* 証明 [#m05ff4ad]
** 言い換え (ほんとうか？) [#j528a547]

次の補助定理を用いる:
二つの整数 &mathjax{m, n}; が互いに素であれば、任意に与えられる整数 &mathjax{a, b}; に対し、 &mathjax{x \equiv a ~(\mathrm{mod}~ m)}; かつ &mathjax{x \equiv b ~(\mathrm{mod}~ n)}; を満たす &mathjax{x}; が、 &mathjax{mn}; を法として一意に存在する。
次の自然な環準同型写像 &mathjax{f: R \longrightarrow \prod_{i=1}^k R/I_i}; が全射。
#mathjax(f(x) = (x+I_1, x+I_2, \cdots, x+I_k));
※ ここでの &mathjax{\prod}; は直積の意味で良いと思う、たぶん。

この補助定理はユークリッドの互除法を用いて証明できる。ユークリッドの互除法を用いると、適当な整数 &mathjax{u, v}; が存在して、 &mathjax{mu + nv = 1}; とできる。このとき &mathjax{mu \equiv ~(\mathrm{mod}~ n)}; かつ &mathjax{nv \equiv 1 ~(\mathrm{mod}~ m)}; が成立するので、 &mathjax{x \equiv anv + bmu ~(\mathrm{mod}~ mn)}; は解となる。
// ちなみにこれで、 &mathjax{R}; が準同型
// 
// * 証明 [#m05ff4ad]
// 
// 次の補助定理を用いる:
// 二つの素イデアル &mathjax{m, n}; が互いに素であれば、任意に与えられる &mathjax{R}; の元 &mathjax{a, b}; に対し、 &mathjax{x \equiv a ~(\mathrm{mod}~ m)}; かつ &mathjax{x \equiv b ~(\mathrm{mod}~ n)}; を満たす &mathjax{R}; の元 &mathjax{x}; が、 &mathjax{mn}; を法として一意に存在する。
// 
// この補助定理はユークリッドの互除法を用いて証明できる。ユークリッドの互除法を用いると、適当な整数 &mathjax{u, v}; が存在して、 &mathjax{mu + nv = 1}; とできる。このとき &mathjax{mu \equiv ~(\mathrm{mod}~ n)}; かつ &mathjax{nv \equiv 1 ~(\mathrm{mod}~ m)}; が成立するので、 &mathjax{x \equiv anv + bmu ~(\mathrm{mod}~ mn)}; は解となる。
// 
// この解は一意である。 &mathjax{y}; も解であるとすると、 &mathjax{x - y}; について &mathjax{x - y \equiv 0 ~(\mathrm{mod}~ m)}; かつ &mathjax{x - y \equiv 0 ~(\mathrm{mod}~ n)}; が成立する。 &mathjax{m, n}; が互いに素であるから、これは &mathjax{x - y}; が &mathjax{mn}; で割り切れることを表す。これは &mathjax{x}; と &mathjax{y}; が法 &mathjax{mn}; に関して合同であることに他ならない。
// 
// この補助定理を帰納的に用いると、中国剰余定理も証明できる。

この解は一意である。 &mathjax{y}; も解であるとすると、 &mathjax{x - y}; について &mathjax{x - y \equiv 0 ~(\mathrm{mod}~ m)}; かつ &mathjax{x - y \equiv 0 ~(\mathrm{mod}~ n)}; が成立する。 &mathjax{m, n}; が互いに素であるから、これは &mathjax{x - y}; が &mathjax{mn}; で割り切れることを表す。これは &mathjax{x}; と &mathjax{y}; が法 &mathjax{mn}; に関して合同であることに他ならない。

この補助定理を帰納的に用いると、中国剰余定理も証明できる。