内部自己同型 のバックアップ(No.3)

仮定

  • \( G \) は群

主張

\( g~(\in G) \) に対し、 \( \iota: G \longrightarrow G \) を \( x \longmapsto gxg^{-1} \) と定義する。
このとき \( \iota \) は同型写像となる。

証明

\( x, y \in G \) とする。 \( G(x)G(y) = gxg^{-1}gyg^{-1} = gxyg^{-1} = G(xy) \) であるから \( G \) はとりあえず群準同型写像である。

同型写像であることを示すには、さらに全単射であることを示せばよい。
\( \#G = \#G \) であるから、単射あるいは全射であることのどちらかを示せば全単射であることが言える。

ここでは単射を示す。

\( x, y \in G \) で、 \( G(x) = G(y) \) とする。 \( gxg^{-1} = gyg^{-1} \) となるから、両辺に左から \( g^{-1} \) 、右から \( g \) をかけることで \( x = y \) を得る。