群準同型写像 のバックアップ(No.2)
- バックアップ一覧
- 差分 を表示
- 現在との差分 を表示
- 現在との差分 - Visual を表示
- ソース を表示
- 群準同型写像 へ行く。
- 1 (2018-11-04 (日) 19:14:50)
- 2 (2018-11-05 (月) 22:19:10)
- 3 (2020-08-15 (土) 03:24:05)
仮定
- \( (G_1, \cdot), (G_2, \cdot) \) はどちらも群
- 写像 \( f \) は \( f: G_1 \longrightarrow G_2 \)
定義
\( f \) が準同型 (写像) であるとは、 \( x, y \in G_1 \) について、 \( f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y) \) を満たすこと。
例
\( (\mathbb{Z}, +) \) と \( (2\mathbb{Z}, +) \) について、 \( f: n \longrightarrow 2n \) は準同型写像。なぜなら
mathjax
\[ f(n) + f(m) = 2n + 2m \]
かつ
mathjax
\[ f(n + m) = 2(n + m) = 2n + 2m \]
となり、 \( f(n) + f(m) = f(n + m) \) を満たすため。
その他
準同型写像 \( f \) は、単位元を単位元へ写す
\( e_1, e_1 \) をそれぞれの単位元 \( e_1\in G_1, e_2 \in G_2 \) とする。
準同型写像の性質から
mathjax
\[ f(e_1)f(e_1) = f(e_1e_1) \]
となる。また \( e_1 \) は単位元なので
mathjax
\[ f(e_1e_1) = f(e_1) \]
である。よって
mathjax
\[ f(e_1)f(e_1) = f(e_1) \]
両辺に右から \( (f(e_1))^{-1} \) をかけると
mathjax
\[ f(e_1) = e_2 \]
となる。