素イデアル のバックアップ(No.2)

仮定

  • \( R \) は環
  • \( I ~(\subset R) \) は \( R \) のイデアル

定義

\( I \) が素イデアルであるとは、任意の \( a, b \in R \) に対して、 \( ab \in I \) ならば \( a \in I \) または \( b \in I \) となること。

例

整数環 \( \mathbb{Z} \) においては、素数 \( p \) が生成するイデアル \( (p) \) が素イデアルになる。

素イデアルは素数の概念を環に拡張したものである。この定義は、整数の世界では、 \( x \) が素数の倍数であるなら、どのような積に分けても、素数の倍数とそれ以外の積になると言っている。これは素因数分解を考えると当然。逆に \( x \) がある数の倍数であって、これをどのような積に分けてもどちらか一方が必ずその数の倍数になるなら、その数は素数であると定義することもできる。これも素因数分解を考えると矛盾しない。