R-加群の準同型定理 のバックアップ(No.1)

(定理) R-加群の準同型定理

仮定

  • \( R \) は環
  • \( M_1, M_2 \) はR-加群
  • \( f: M_1 \longrightarrow M_2 \) はR-準同型

主張

\( M_1/\mathrm{Ker}f \simeq \mathrm{Image}f \)
\( \simeq \) はR-加群としての同型である。

証明

任意の \( r ~(\in R), m ~(\in \mathrm{Image}f) \) について \( rm \in \mathrm{Image}f \) を満たしていればよい。
\( m \in \mathrm{Image}f \) より、ある \( x \) で \( m = f(x) \) とできる。よって \( rm = rf(x) = f(rx) \) となるから、 \( rx \in \mathrm{Image}f \) が成り立つ。