環の直積と直和 のバックアップ(No.1)

仮定

  • \( \{R_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda} \) は環の集合とする。

定義

  • 直積: 環の直積 \( \displaystyle \prod_{\lambda \in \Lambda} \) は、単に直積集合であって、和を成分ごとの和、定数倍を全成分への定数倍として定義したもの。
  • 直和: 環の直和 \( \displaystyle \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} \) は、直積集合に含まれる元のうち、有限個の成分を除いて他の成分が全て 0 になるものを集めたもの。

その他

  • 直積、直和については扱う対象によって別の定義があるような状態で、どれが定義なのかがよく分かっていない。上の定義は、とりあえず直積は環の直積である。直和はこの例はベクトル空間の直和かもしれない。
  • 任意個の和については上のように定義され、直積と直和は異なる。しかし、有限個の場合には直積と直和は一致するので、今後、有限個を扱う文脈では特に区別しないものとする (やばい話) 。