R-加群の準同型定理 のバックアップソース(No.1)

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  • 1 (2019-01-27 (日) 12:29:48)
  • 2 (2019-05-28 (火) 16:55:06)

* (定理) R-加群の準同型定理 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{M_1, M_2}; はR-加群
- &mathjax{f: M_1 \longrightarrow M_2}; はR-準同型

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{M_1/\mathrm{Ker}f \simeq \mathrm{Image}f};
&mathjax{\simeq}; はR-加群としての同型である。

* 証明 [#m05ff4ad]

任意の &mathjax{r ~(\in R), m ~(\in \mathrm{Image}f)}; について &mathjax{rm \in \mathrm{Image}f}; を満たしていればよい。
&mathjax{m \in \mathrm{Image}f}; より、ある &mathjax{x}; で &mathjax{m = f(x)}; とできる。よって &mathjax{rm = rf(x) = f(rx)}; となるから、 &mathjax{rx \in \mathrm{Image}f}; が成り立つ。