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* 仮定 [#c9335d3b]
- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{M}; はR-加群
- &mathjax{X ~(\subset M)}; は &mathjax{M}; の部分集合
* 定義 [#cd8b54cb]
&mathjax{X}; が基底であるとは、以下の同値な条件のいずれかを満たすこと。
+ &mathjax{\langle X\rangle = M}; かつ &mathjax{X}; が一次独立であること。
+ 全ての &mathjax{m ~(\in M)}; に対し、有限個の項以外は 0 である数列 &mathjax{\{r_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} ~(\subset R^\Lambda)}; が''一意に''存在して、 &mathjax{X = \{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}}; を用いて &mathjax{m = \sum_{\lambda\in\Lambda} r_\lambda x_\lambda}; が成立することをいう。
+ 全ての &mathjax{m ~(\in M)}; に対し、有限個の項を除いて 0 である数列 &mathjax{\{r_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} ~(\subset R^\Lambda)}; が''一意に''存在して、 &mathjax{X = \{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}}; を用いて &mathjax{m = \sum_{\lambda\in\Lambda} r_\lambda x_\lambda}; が成立することをいう。
* 例 [#ae2093c7]
- 2 番目の定義は字面が怖くて一瞬面くらうが、これはベクトルを基底の一次結合で表すとき、その表し方が一意である、というあれと同じである。
