R-加群の準同型定理 のバックアップの現在との差分(No.1)

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* (定理) R-加群の準同型定理 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{M_1, M_2}; はR-加群
- &mathjax{f: M_1 \longrightarrow M_2}; はR-準同型
- &mathjax{\phi: M_1 \longrightarrow M_2}; はR-準同型

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{M_1/\mathrm{Ker}f \simeq \mathrm{Image}f};
&mathjax{M_1/\mathrm{Ker}\phi \simeq \mathrm{Image}\phi};
&mathjax{\simeq}; はR-加群としての同型である。

* 証明 [#m05ff4ad]

任意の &mathjax{r ~(\in R), m ~(\in \mathrm{Image}f)}; について &mathjax{rm \in \mathrm{Image}f}; を満たしていればよい。
&mathjax{m \in \mathrm{Image}f}; より、ある &mathjax{x}; で &mathjax{m = f(x)}; とできる。よって &mathjax{rm = rf(x) = f(rx)}; となるから、 &mathjax{rx \in \mathrm{Image}f}; が成り立つ。
以下では &mathjax{N = \mathrm{Ker}\phi}; とする。

&mathjax{\bar{\phi}}; を、任意の &mathjax{g \in M_1}; に対して  &mathjax{\bar{\phi}(gN) = \phi(g)}; と定義すればこれが &mathjax{R};-同型写像になっていることを示す。

まず、 &mathjax{\bar{\phi}}; が well-defined であることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。
&mathjax{\bar{\phi}}; が群に関して準同型となっていることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。
&mathjax{\bar{\phi}}; が積を保つことは、 &mathjax{r\bar{\phi}(mN) = r\phi(m) = \phi(rm) = \bar{\phi}(rmN)}; であるからよい。

以上から、 &mathjax{\bar{\phi}}; は &mathjax{R};-準同型である。
また、これが全単射であることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。

従って &mathjax{\bar{\phi}}; は &mathjax{R};-同型写像である。