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* 仮定 [#c9335d3b]
- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{x ~(\in R)}; は &mathjax{R}; の元
* 定義 [#cd8b54cb]
&mathjax{x}; が羃零元であるとは、ある自然数 &mathjax{n}; が存在して、 &mathjax{x^n = 0}; となることをいう。
* 例 [#ae2093c7]
- &mathjax{\mathbb{R}}; においては &mathjax{0 }; のみがそれにあたる。
- &mathjax{\mathrm{Mat}(3)}; においては
#mathjax(\left(\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right));
は羃零元。羃零行列ともいう。
* その他 [#g108cc05]
** 羃零元と羃零元の和は単元 [#j7507c9d]
&mathjax{a, b}; をともに羃零元とすると、ある &mathjax{n, m}; があって &mathjax{a^n = b^m = 0}; となる。このとき &mathjax{(a + b)^{n + m}}; を展開した項の &mathjax{{}_{n+m}\mathrm{C}_{i} a^ib^j ~(i + j = n + m)}; に関して、 &mathjax{i \geqq n}; または &mathjax{j \geqq m}; のいずれかは必ず成り立つので、 &mathjax{a^i}; または &mathjax{b^j}; のいずれかは &mathjax{0 }; となる。したがって &mathjax{(a + b)^{n + m} = 0}; が分かる。 &mathjax{a + b}; は羃零元。これを繰り返すと (少なくとも有限個の) 羃零元の和は羃零元であることも分かる。
** 単位元と羃零元の和は単元 [#q0f6ff60]
&mathjax{1}; を単位元、 &mathjax{x}; を羃零元とする。
#mathjax(1 - (-x)^n = \left\{1 - (-x)\right\}\left\{1 + (-x) + (-x)^2 + \cdots + (-x)^{n-1}\right\});
となるから、 &mathjax{1 + x}; には逆元がある。
** 単元と羃零元の和は単元 [#q47fce8b]
&mathjax{a}; を単元、 &mathjax{x}; を羃零元とする。 &mathjax{a + x}; が羃零であることを見る。
&mathjax{a}; が単元であるから、ある &mathjax{b}; があって &mathjax{ab = 1}; となる。 &mathjax{ab + xb = 1 + xb}; は &mathjax{xb}; が羃零であるから上の話の単位元と羃零元の和にあたる。つまり &mathjax{ab + xb}; は単元。すなわち別の元 &mathjax{c}; があって &mathjax{(ab + xb)c = 1}; となる。したがって &mathjax{(a + x)bc = 1}; 。つまり &mathjax{a + x}; に逆元 &mathjax{bc}; があるので、 &mathjax{a + x}; は単元である。
