有限アーベル群の表記
Last-modified: Sun, 27 Jan 2019 17:53:30 JST (1937d)
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(定理) 有限アーベル群の直和による表記
仮定
- \( G \) は有限アーベル群
主張
有限アーベル群 \( G \) は素数 \( p_1, \cdots, p_g \) を使って必ず
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\[ G = G(p_1) \oplus \cdots \oplus G(p_g) \]
とかける。ただし各 \( G(p_i) \) は、 \( 1 \leqq a_1 \leqq \cdots \leqq a_i^{(l_i)} \) を用いて
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\[ G(p_i) = \mathbb{Z}/p_i^{a_i^{(1)}}\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/p_i^{a_i^{(l_i)}}\mathbb{Z} \]
とかける。また
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\[ G(p_i) = \left\{x \in G \mathrel{}\middle|\mathrel{} \exists N \in \mathbb{N}, ~p_i^N \cdot x = 0\right\} \]
とも書けるらしい。
証明
中国剰余定理と、有限生成アーベル群の構造定理による。 (加筆します。)