中国剰余定理 (素イデアル)

Last-modified: Tue, 08 Jan 2019 18:35:54 JST (2373d)
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(定理) 中国剰余定理 (素イデアル)

仮定

  • \( R \) は環
  • \( k \) は自然数
  • \( I_1, I_2, \cdots, I_k \) は \( R \) のイデアルであり、どの二つも互いに素
  • \( a_1, a_2, \cdots, a_k \) は任意の \( R \) の元

主張

※ ここでの \( \mathrm{mod} \) はイデアルを法とする合同式

\[ x \equiv a_1 ~(\mathrm{mod}~ I_1) \]
\[ x \equiv a_2 ~(\mathrm{mod}~ I_2) \]
\[ \vdots \]
\[ x \equiv a_k ~(\mathrm{mod}~ I_k) \]

を満たす \( R \) の元 \( x \) が \( \bigcap_{i=1}^{k} I_i \) を法として一意に存在する。

言い換え (ほんとうか？)

次の自然な環準同型写像 \( f: R \longrightarrow \prod_{i=1}^k R/I_i \) が全射。

\[ f(x) = (x+I_1, x+I_2, \cdots, x+I_k) \]

※ ここでの \( \prod \) は直積の意味で良いと思う、たぶん。