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*自己紹介 [#tf56ba98]
-名前：へ
-数学やっています
-作問サークル副団長
-Twitter：[[https://twitter.com/carilmath1618_2>https://twitter.com/carilmath1618_2]]

*自作問題 [#l6fcc1c3]

**問題1 [#ac393ebc]

数列 &mathjax{ \{a_n\} };　は次の漸化式を満たす.

&mathjax{ a_1 = 1, \ a_2 = 1,\ a_{n + 2} =  a_{n + 1} + a_n \ (n = 1, 2, 3, \ldots) };

(1)任意の自然数 &mathjax{n};　に対して次の式が成立することを示せ.

　　　　　　&mathjax{ (2 a_{n + 1} - a_n)^2 + 4 \cdot (- 1)^{n - 1} = 5 {a_n}^2 };

(2) &mathjax{a_n = 2^m};　となるような自然数の組 &mathjax{ (m, n) };　を求めよ.
#br
**問題2 [#ac393ebc]

&mathjax{n};を 0 以上の整数とする. 多項式 &mathjax{T_n(x)};を次のように定める.

&mathjax{T_0(x) = 1, \ T_1(x) = x, \ T_{n + 2} = 2 x T_{n + 1}(x) - T_n(x) \, (n = 0, 1, 2, \ldots)};

(1) &mathjax{T_n(\cos \theta) = \cos n \theta};を示せ.

(2) &mathjax{\int_{-1}^{1} T_{2n}(x) \ dx};を求めよ.
(2) &mathjax{\displaystyle \int_{-1}^{1} T_{2n}(x) \ dx};を求めよ.

(3) &mathjax{m};を 0 以上 &mathjax{n};以下の整数として, &mathjax{I(m, n) = \int_{-1}^{1} x^m T_n(x) \ dx};とおく. ただし &mathjax{x^0 = 1};とする.&br;&mathjax{I(m, n) = \frac{1}{2^m} \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} \mathrm{C}_k I(0, n + m - 2 k)};を示せ.&br;(4) &mathjax{\int_{-1}^{1} x^n T_n(x) = - \frac{1}{2^{n - 1}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{ {}_n \mathrm{C}_k}{4(n - k)^2 - 1}};を示せ.
(3) &mathjax{m};を 0 以上 &mathjax{n};以下の整数として, &mathjax{\displaystyle I(m, n) = \int_{-1}^{1} x^m T_n(x) \ dx};とおく. ただし &mathjax{x^0 = 1};とする.&br;&mathjax{\displaystyle I(m, n) = \frac{1}{2^m} \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} \mathrm{C}_k I(0, n + m - 2 k)};を示せ.&br;(4) &mathjax{\displaystyle \int_{-1}^{1} x^n T_n(x) = - \frac{1}{2^{n - 1}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{ {}_n \mathrm{C}_k}{4(n - k)^2 - 1}};を示せ.