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自己紹介
- 名前：へ
- 数学やっています
- 作問サークル副団長
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自作問題
問題1
数列 \( \{a_n\} \) は次の漸化式を満たす.
\( a_1 = 1, \ a_2 = 1,\ a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n \ (n = 1, 2, 3, \ldots) \)
(1)任意の自然数 \( n \) に対して次の式が成立することを示せ.
\( (2 a_{n + 1} - a_n)^2 + 4 \cdot (- 1)^{n - 1} = 5 {a_n}^2 \)
(2) \( a_n = 2^m \) となるような自然数の組 \( (m, n) \) を求めよ.
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問題2
\( n \)を 0 以上の整数とする. 多項式 \( T_n(x) \)を次のように定める.
\( T_0(x) = 1, \ T_1(x) = x, \ T_{n + 2} = 2 x T_{n + 1}(x) - T_n(x) \, (n = 0, 1, 2, \ldots) \)
(1) \( T_n(\cos \theta) = \cos n \theta \)を示せ.
(2) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} T_{2n}(x) \ dx \)を求めよ.
(3) \( m \)を 0 以上 \( n \)以下の整数として, \( \displaystyle I(m, n) = \int_{-1}^{1} x^m T_n(x) \ dx \)とおく. ただし \( x^0 = 1 \)とする.
\( \displaystyle I(m, n) = \frac{1}{2^m} \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} \mathrm{C}_k I(0, n + m - 2 k) \)を示せ.
(4) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x^n T_n(x) = - \frac{1}{2^{n - 1}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{ {}_n \mathrm{C}_k}{4(n - k)^2 - 1} \)を示せ.