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数学系
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自作問題
ビラ
- 2019年NFビラ問1
\( f(x)=e^x\sin{x} \)とする.このとき正の実数列\( \{a_n\} \)は\( f(x) \)の\( x=a \)での接線が原点を通るような\( a \)を小さい順に取っている.
(1) \( \lim_{n\to\infty}\tan{a_n} \)を求めよ
(2) (1)で求めた極限の値を\( \alpha \)としたとき、\( \lim_{n\to\infty}n(\tan{a_n}-\alpha) \)を求めよ. - 2020年新歓ビラ問1
\( p,q \)を素数としたとき, \( {}_{pq}C_p\equiv q\pmod{p} \)であることを示せ. - 2020年NFビラ問4
\( f(x),g(x) \)を0でない多項式とする.このとき,以下の条件を満たす多項式\( f_i(x),g_i(x)(i=0,1,2) \)が存在することを示せ.mathjax
\[ \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f_0(x^3)}{g_0(x^3)}+x\dfrac{f_1(x^3)}{g_1(x^3)}+x^2\dfrac{f_2(x^3)}{g_2(x^3)} \] - 2021新歓ビラ問6
以下の極限を求めよ(gcdは最大公約数)mathjax
\[ \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}\sum_{c=1}^{n}\mathrm{gcd}(a,b,c) \]
作サー模試
問題は載せられないので何年の何問目かだけ書きます
- 2019年NF模試理系第1回の問5
- 2019年NF模試文系第1回の問1
- 2020年NF模試文系第1回の問1(리との共作)
- 2022年NF模試理系第1回の問6
- 2023年NF模試理系第2回の問2
部誌に載ったもの
全ては紹介できないので一部だけ載せます。詳しくは部誌を買ってください
- \( \lim_{n\to\infty}\cos^{n^2}{(2\pi e n!)} \)を求めよ.
- M高校でK大学模試を受けたのは4人だとしたとき、そのうちの4人のうちの1人であるAさんの校内偏差値としてとりうる値を求めよ.
- \( \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^ky^{n-k}}{n!}\binom{n}{k} \)を求めよ.\( \binom{n}{k} \)は二項係数
- \( \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^ky^{n-k}}{n!}s(n,k) \)を求めよ. s(n,k)は第一種スターリング数
- \( \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^ky^{n-k}}{n!}S(n,k) \)を求めよ.S(n,k)は第二種スターリング数
- 漸化式\( a_1=1,a_{n+1}=a_n+\sqrt{1+{a_n}^2} \)となる数列において,\( \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{cr^n}=1 \)になるような定数\( c,r \)を求めよ.
- 三角形ABCは鋭角三角形 面積S 外接円の半径R 内接円の半径r このとき平面上の点Pであって、\( \{AP,BP,CP\} \)の中央値がR以下となるような領域を図示して面積を求めよ
大数に載ったもの
- \( \alpha,\beta \)を正の実数の定数とする.\( \triangle ABC \)は\( \angle A=60^{\circ},BC=\sqrt{3} \)を満たしている.このとき,\( AB=x,AC=y \)と定めたときの\( \alpha x+\beta y \)の最大値を\( \alpha,\beta \)で表せ.(2022年11月号 学力コンテスト 問2)
- \( y=\sin{x},y=0 \)で囲まれた領域を\( y=mx \)によって面積比が\( 1:n \)になるように分割する.ここで,\( y\lt mx \)の領域:\( y\gt mx \)の領域\( =n:1 \)となるようにする.
このとき,\( y=mx \)と\( y=\sin{x} \)の交点の\( x \)座標のうち,0でないものを\( \alpha_n\ \)とする.\( \lim_{n\to\infty} n(\alpha_n)^k \)が0以外の有限値に収束するときの\( k \)の値とその極限値を求めよ.ただし極限\( \lim_{x\to\infty}\dfrac{x-\sin{x}}{x^3}=\dfrac{1}{6} \)は証明せずに用いてもよい.(2023年2月号 読者の新作問題)
その他
- OMC057
- KUPC2021のH問題
- NF杯2023のG問題とN問題
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問1
\( A \)を\( n \)次の実数係数の正定値な対称行列とする。このとき、
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は共に\( A \)の固有値であることを示せ
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問2
\( k \)を正の整数とし、関数\( f[0,1]\to\mathbb{R} \)は\( C^k \)級である。
ここで、\( f(1)=f'(1)=\cdots=f^{(k-1)}(1)=0 \)が成立しているものとする。
このとき、以下の極限値を求めよ。
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問3
\( \mathbb{F}_7 \)を位数7の有限体とする。このとき、
\( \mathbb{F}_7 \)係数の3次の既約モニック多項式はいくつあるかを求めよ。
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問4
\( \mathbb{F}_p \)を位数\( p \)の有限体とする。\( \mathbb{F}_p \)係数の\( n \)次正方行列を各成分の値を\( p \)面サイコロを振って出した値で決める。このときできた行列が正則である確率を\( a_n \)とおくと、\( \lim_{n\to\infty}a_n \)はある値\( \alpha \)に収束して、かつ\( \alpha \in (0,1) \)を満たすことを示せ。
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問5
自然数\( n \)について、以下の等式を示せ。
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解答
問1
\( A \)の固有値を\( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \)、対応する固有ベクトルを\( v_1,\ldots,v_n \)とする。ここで、\( A \)が正定値・対称行列より、\( 0<\lambda_1\leq \cdots\leq\lambda_n \)であり、\( \{v_1,\ldots,v_n\} \)は\( \mathbb{R}^n \)の正規直交基底としてもよい。このとき、\( x=x_1v_1+\cdots+x_nv_n \)(ただし\( x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R} \))とすると
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となっている。よって、
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となっている。
よって、\( (x_1,\ldots,x_n)=(1,0,\ldots,0) \)と\( (x_1,\ldots,x_n)=(0,\ldots,0,1) \)の場合を考えることでsupとinfが求まる。
問2
後で証明を書く予定です。
答えは確か\( (-1)^kf^{(k)}(1) \)になるはずです。
k回くらい部分積分をすればOKです。
問3
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は、\( x^7-x \)に\( \mathbb{F}_7[x] \)上の三次既約モニック多項式を全部掛けたものと等しくなる。
よって、両辺の次数を比較することで答えがわかる。
解を\( n \)とおくと、\( 343=7+3n \)より、\( n=112 \)となる。
問4
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より、
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となる。expの中身の級数が収束することはダランベールの判定法より保証される。
問5
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これを\( 0\leq k\leq n \)で総和を取ったものが\( 4^n \)に等しいことを示せればよい。
ここで、\( \frac{1}{\sqrt{1-4x}} \)のテイラー展開は
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となっている。ただし、\( |x|<1/4 \)である。これの二乗を畳み込みで計算すると、
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ここで、
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であるため、
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となり、係数を比較することで
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を得る。