アイコンについて

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実はこのアイコンは、数学的な考察によって作られています。

まず単位円\( x^2+y^2=1 \)があります。

次に、4本の直線\( y=\pm m(x\pm 1) \)（複合任意）があります。

このとき、円がいくつかの領域に分かれます。

「京」「大」「数」「学」が書かれている4つの円の半径はなるべく大きくなってもらわないと、ですよね。ではいつ最大になるのでしょうか?

まず、ひし形が円の内部に入っているような状況を考えると、\( 0\lt m\lt 1 \)であることがわかります。

小さい円は2直線に接しているため、中心は角の二等分線上にあります。特に中心の\( y \)座標は\( m \)です。

中心の座標は\( (s,m),0\leq s\leq \sqrt{1-m^2} \)と書くことができます。

このとき、円の半径は点と直線の距離を使うと\( \frac{ms}{\sqrt{1+m^2}} \)となります。

よって、これが大きな円とも接しているため、\( \sqrt{s^2+m^2}+\frac{ms}{\sqrt{1+m^2}}=1 \)となります。

これを整理すると\( s^2+m^2=1+\frac{m^2s^2}{1+m^2}-\frac{2ms}{\sqrt{1+m^2}} \)となって\( s \)についての2次方程式になります。

これを解くと（いくつかの解を取捨選択すると）\( s=(1-m)\sqrt{1+m^2} \)となります。

よって、最終的に円の中心は\( (\pm (1-m)\sqrt{1+m^2},\pm m) \)（複合任意）で半径は\( m(1-m) \)となります。

よって\( m=\frac{1}{2} \)とするのが最適で、このとき円の中心は\( \left(\pm \frac{\sqrt{5}}{4},\pm \frac{1}{2}\right) \)（複合任意）で半径は\( \frac{1}{4} \)です。そうなるように作られているのでした。

(作問: Lim)