리 のバックアップ(No.5)

自己紹介

名前:리(り) (リムリム, 恋するヘドロとも呼ばれる)

所属:理学部数学系3回生

Twitter

(本垢): https://twitter.com/Lim_Rim_

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ブログ:http://limrim-soeasymath.hatenablog.com/

マシュマロ(質問用): https://marshmallow-qa.com/lim_rim_

 

備考: 作問サークル団長(創始者)。変な経歴がある(商業高校卒→1浪→特色入試)。学コンに問題を何回か載せている。Kpopの人を見るのが好き(Fromis_9, IZ*ONE)。スマブラはデイジーしか使わない。

 

興味

代数幾何学や数論幾何学を目指したいと思っています。好みは代数ですが, 代数, 幾何, 解析の融合地帯的な部分に興味があります。

現在進行中の本

  • 「複素代数幾何学入門」(準メイン)
  • Hartshorne「代数幾何学」(現在のメイン)
  • 斉藤毅「数学原論」(1章で停滞中)
  • Qing Liu「Algebraic Geometry and Arithmetic Curves」 (Chap3で停滞中)
  • J.Serre「A course in Arithmetic」(準メイン)

だいたい読んだつもりの本

  • Northcott「ホモロジー代数」

2回後期に触れた。非常に行間が少ない。加群論をやってみて, 「こいつキライだわ」って思ったら読むと良いと思う(加群恐怖症が治る)。最後らへんの章はあんまり分かっていない。まだホモロジー代数をものすごく使うような場面に遭遇していないので, 何がよく使われるのかの把握はできていない。

  • Atiyah-Macdonald「可換代数入門」

可換環論の有名な本。なんでもこの本に乗っとるわって感じがする。演習はまだ110問くらいしかやれていない(きつい)。

  • 雪江明彦, 代数学2「体とガロア理論」(青雪江)

1回生から読んでいた。環論→加群論→体論→ガロア理論。最初は演習に恐怖があってあんまりやらなかったけど, 3回生の頃にやってみたらめちゃくちゃ簡単だなってなった。

  • T.レンスター「ベーシック圏論」

一番好きな本。2回の冬休みを使って読んだ。順極限や逆極限のことを理解したいという思いで始めた。米田の補題を自力で示せたので良い青春だった。5章からがめちゃくちゃ楽しいので5章まで諦めてほしくない。2回生くらいの軽い知識(群論, 線形代数, 位相, 環論など)があると具体例も理解しやすいので読みやすいと思う。

  • J.S.Chahal「数論入門講義」

2回生の冬休みに読んだ。整数論の入門書。群論を導入するチャプターもあり, 高校数学まででも結構読めるようになっている。四平方和定理,二平方和定理,平方剰余相互法則,楕円曲線など楽しい話題がいっぱいあり, 代数幾何学的なアイデアもいろいろ乗っているが, 本当に入門書という感じの雰囲気で書かれている。

 
 
 

時間割

2020前期

月火水木金
1
2幾何特論2位相幾何学幾何1確率論解析1
3整数論函数解析続論幾何1代数幾何解析1
4解析演義代数演義幾何演義
5解析演義代数演義幾何演義
 

備考: フル単の予定。激甘単位が多かった。数学科最高！

 

おすすめの自作問題

個人的に気に入っている問題を5つ紹介します。

 

問1(2019学コン6月号5番)

\( n \)を正の整数, \( e \)を自然対数の底とする。
(1) \( f_n(x) = 1+x+\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^{3}}{3!} + \cdots + \dfrac{x^{n}}{n!} \)とするとき, \( x>0 \)において\( 0 < e^{x} - f_n(x) < \dfrac{e^{x}x^{n+1}}{(n+1)!} \)
であることを示せ。
(2) \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \cos{\frac{2\pi e n!}{3}} = -\frac{1}{2} \)を示せ。

問2(2019新勧ビラ問題)

\( f(x) = x^2 + x+1 \)とし, \( \omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)とする。
(1) \( |f(\sqrt[3]{2}\omega)|<1 \)を示せ。
(2) \( f(\sqrt[3]{2})^{2019} \)に最も近い整数を8で割ったあまりを求めよ。

問3(自作模試第四弾理系6番)

三角形\( T \)の1つの辺の長さは平方数であり, 残りの辺の長さは素数である。また \( T \)の面積は整数で, 外接円の直径は素数であるとする。\( T \)の各辺の長さを求めよ。

 

問4(自作模試第4段理系4番)

\( n \)を正の整数とする。実数\( a \)に対し, \( I_n(a) = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos^{n}{x} - a\sin^{n}{(2x)}|\,dx \)とおく。\( I_n(a) \)の最小値を\( m_n \)とおく。\( n \)を正の整数全体で動かすときの\( m_n \)の最大値を求めよ。

 

問5(2020新勧ビラ問題)

\( p \)を素数, \( n \)を2以上の整数とする。\( \dfrac{p^n+1}{p+1} \)は\( n^2 \)で割り切れないことを証明せよ。(難易度:数オリくらい)

 
 
 
 
 
 

その他

 

自作模試

 

書いたもの