리

Last-modified: Sun, 02 Apr 2023 16:46:39 JST (403d)
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自己紹介

名前:리(り) (リムリムとよばれる)

所属:数学教室M2

Twitter

(本垢): https://twitter.com/Lim_Rim_

(どちゃ楽数学bot): https://twitter.com/solove_math

これは高1の頃に作った自分なりに好きな問題を集めたbotです。 

 
 

マシュマロ(質問用): https://marshmallow-qa.com/lim_rim_

 

備考: 作問サークル前団長・創始者。商業高校卒→1浪→理学部特色に合格。学コンに自作問題がよく載る。2019ガロア祭で大賞になった。

 

興味

おもに数論幾何っぽいことを意識して、ディオファントス幾何に興味があります。代数幾何ユーザー。

 

(2022/03/08) 講究のモジュラー形式はまあまあ楽しかったが, なんかこれじゃない感があった。今はアラケロフ幾何学やディオファントス幾何学らへんに興味が湧いている。M脇先生に「代数幾何はもちろん複素幾何も必要」と言われ, まだまだ勉強が必要.

 

(2023/04/02) M1の1年間ではM脇先生のアラケロフ幾何の本などを読んで、いくつか論文をあさったりしました。関数体と代数体の類似性に興味を持っています。特に最近は楕円曲面におけるMordell-Weil格子理論(Shioda-Schuttの本)にも注目しており、これの算術類似が考えられるかを検討中です。

最近読んでる本

(更新: 2023/04/02)

最近は本読むというより論文あさりなんですけどね

 
  • Hartshorne「代数幾何学」 似顔絵氏君と最近よく読んでます. むずい. RIMSのほうでM0セミナーを聴講させてもらったりもしてます.  
  • Qing Liu "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves"Haより比較的丁寧ですが分厚すぎて1ページの重みがつらいです。後半は算術曲面とかファイバー曲面の話も載ってるのでアラケロフやるような人にはいいのかも。
  • 森脇淳「アラケロフ幾何学」 M1セミナーで3,4,5,9章を読んでました。9章のボゴモロフ予想は、アラケロフ幾何の重要な定理（算術的Hilbert-Samuelとか）を使っててここから読むのは結構教育的だなと思います。
  • 桂利行「楕円曲面」　Mordell-Weil格子理論で楕円曲面の理論が使われてるので参考にしている。
  • Shioda, Schutt "Mordell-Weil Lattice" Mordell-Weil格子理論の集大成的な文献。相対極小な楕円曲面のNeron Severi群と関数体上の楕円曲線の有理点群を結びつけ、曲面の交点理論的な計算を用いて有理点の解析をするみたいな、だいたいそんな感じのことをしています。いろいろ応用が広いらしいです。研究のためにあちこちを読んでます。
 

少し読んだ本・いつか読みたい本

こいつ何も読めてないな

  • 堀川「複素代数幾何学入門」　あんまり例とかを載せてくれない印象。幾何が苦手なので難しいなあと思って4章で力尽きてしまった。(3/8) 因子(Divisor)に初めて出会ったのがこの本で, 当時はなんか辛かったが今なら読める気がする. 
    Joseph Silverman "The Arithmetic of Elliptic Curves"  楕円曲線の標準的な教科書。いわゆるAEC。似顔絵氏君と読み合わせしてた。最初の代数幾何パートがハーツホーンに投げられてたりするけどそこ飲み込めれば3章からは結構楽しく読めると思う。あんまり行間はなくて良いと思います。
    小林昭七「複素幾何」ふじおか君と読んでた. 後半でアーペル多様体の話あるから読んでみたいなぁ
  • 寺杣『リーマン面の理論』 誤植というか文構成ミスみたいなのがまあまあある気がする. 演習問題の位置もなんか間違えてるんでは?  Riemann-Rochあたりの勉強をするために読んでたけど, なんか難しいです. 最後のほうに少し数論的な話もある.
  • Otto Forster "Riemann Surfaces" リーマン面の教科書。 これが一番いいと思います。あと前半で被覆空間の理論とかやるので, 幾何学入門の予習復習なりしたい人はこれ読むのもアリだと思います。
  • 雪江明彦「整数論2 代数的整数論の基礎」青雪江の3倍くらいむずかった（p進に慣れてなかったからだと思う）。類数の決定の例とか整数環の基底決定とかの例の部分がとても大変だがこういうのが知れるのは良いと思う. p進はGouveaのおかげで最近は少し見通しが良くなった気がする。 6章読んでない。
  • Fernando Gouvea "p-adoc numbers, An introduction". すごく読みやすい. p進が苦手な人, おすすめです。演習問題が比較的簡単で, 全部解答もついてる。 ''代数体Kにp進絶対値を拡張する方法のあたりもわかりやすかった。
  • Cassels "Local Fields" p進とか非アルキメデス的なもののことが書かれてある。漸化式やDiophantus方程式への応用についても書かれており, モチベが上がるような面白い例がいろいろ見れると思う。たとえば,こんな結果が知られている。→ https://twitter.com/solove_math/status/1500299603119587330?s=20&t=stj5D4dr6yryqrjaD3QIBA
  • Fulton-Harris「Representaiton Theory --A first course--」何かで必要になったので3章まで見てた
  • Diamond-Shurman "A First Course in Modular Forms" 講究本. 似顔絵氏と2人で, I先生の監督でやった. モジュラー形式やモジュラー曲線に関する本. 予備知識が少ないように書かれてあるが, リーマン面の勉強をしておくとスムーズになると思う。行間もそんなに多くなくむしろ解説の丁寧さの余りに逆に何言ってんだみたいな感じすらすることもある.  いろいろ面倒ごとを飛ばしながら読んで, §6の6.5くらいで終了した. 
 
 
 
 
 
 
 

時間割

2020前期

月火水木金
1
2幾何特論2位相幾何学幾何1確率論解析1
3整数論函数解析続論幾何1代数幾何解析1
4解析演義代数演義幾何演義
5解析演義代数演義幾何演義
 

備考: フル単の予定。激甘単位が多かった。数学科最高！

 

おすすめの自作問題

自作問題は150問くらいあるっぽくて, 世間に公開していないものも多いです。整数問題が好きですが,他はてきとーに作ってる。整数と幾何の融合問題が好きです。

 

個人的に気に入っている問題を5つ紹介します。

 

問1(2019学コン6月号5番)

\( n \)を正の整数, \( e \)を自然対数の底とする。
(1) \( f_n(x) = 1+x+\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^{3}}{3!} + \cdots + \dfrac{x^{n}}{n!} \)とするとき, \( x>0 \)において\( 0 < e^{x} - f_n(x) < \dfrac{e^{x}x^{n+1}}{(n+1)!} \)
であることを示せ。
(2) \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \cos{\frac{2\pi e n!}{3}} = -\frac{1}{2} \)を示せ。

問2(2019新勧ビラ問題)

\( f(x) = x^2 + x+1 \)とし, \( \omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)とする。
(1) \( |f(\sqrt[3]{2}\omega)|<1 \)を示せ。
(2) \( f(\sqrt[3]{2})^{2019} \)に最も近い整数を8で割ったあまりを求めよ。

問3(自作模試第四弾理系6番)

三角形\( T \)の1つの辺の長さは平方数であり, 残りの辺の長さは素数である。また \( T \)の面積は整数で, 外接円の直径は素数であるとする。\( T \)の各辺の長さを求めよ。

 

問4(自作模試第4段理系4番)

\( n \)を正の整数とする。実数\( a \)に対し, \( I_n(a) = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos^{n}{x} - a\sin^{n}{(2x)}|\,dx \)とおく。\( I_n(a) \)の最小値を\( m_n \)とおく。\( n \)を正の整数全体で動かすときの\( m_n \)の最大値を求めよ。

 

問5(2020新勧ビラ問題)

\( p \)を素数, \( n \)を2以上の整数とする。\( \dfrac{p^n+1}{p+1} \)は\( n^2 \)で割り切れないことを証明せよ。(難易度:数オリくらい)

 
 
 
 
 
 
 
 

その他

 

自作模試

 

書いたもの