フリー問題（仮） のバックアップ(No.19)

！！！注意！！！''

これはアニメやドラマなどの創作物で数学の試験などのシーンを作る際に使ってもらえたらなあという妄想のもと作成されたページです。
ここに掲載されている問題は全てメンバーの自作のものですが、性質上、問題集などに掲載されている問題と一致してしまう場合があります。ご了承ください。
使用する際は作問サークルにご一報ください。謝礼等は結構です。

中学数学：定期テスト

問１

(1)　\( 1-2+3-4+5-6+...+97-98+99-100 \)　を計算しなさい。

(2)　\( \dfrac{5x+2}{6}-\dfrac{3x-7}{4} \)　を計算しなさい。

(3)　\( a=18+\sqrt{97} \)のとき、\( a^2-36a+324 \)の値を求めなさい。

(4)　\( 5x^2-7x+1=0 \)を解きなさい。

(5)　\( y=x^2 \)のグラフ上に、3点\( A(1,1),B(-2,4),C(a,b) \)がある。三角形ABCの面積が3となるようなaとbの値を全て求めなさい。

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中学数学：高校入試

問１
(1)　\( \begin{cases}
3p+5q=23\\
5q-2q=-3
\end{cases} \)を満たす\( (p,q) \)の組を求めなさい。

 

(2)　\( \begin{cases}
3(x-2)^2+5(y+5)^2=23\\
5(x-2)^2-2(y+5)^2=-3
\end{cases} \)を満たす\( (x,y) \)の組を求めなさい。


【答】
(1)　\( (p,q)=(1,4) \)

(2)　\( (x,y)=(3,-3), (3, -7), (1, -3), (1, -7) \)

 
 
 
 

問2　\( a \)は正の数であり, \( a \)の整数部分を\( x \), 小数部分を\( y \)とする。以下の問いに答えなさい。
(1)　\( (x-1)(y-1)(x-2)(y-2)・・・(x-100)(y-100)=0 \)となる\( a \)の範囲を求めなさい。
(2)　\( xy=\dfrac{1}{2}, x^4y^2+xy+x^2y^4=\dfrac{97}{64} \)となる\( a \)を求めなさい。

 

【答】

(1)　\( 1\leqq a < 101 \)

(2)　\( a=\dfrac{9}{4} \)

 
 
 
 

問3　連立方程式

\( \begin{cases}
5x+3by=a\\
7x+by=1
\end{cases} \)
について次の問いに答えなさい。
(1)　\( a=13, b=-3 \)のとき, 連立方程式を解きなさい。
(2)　連立方程式の解が\( x=2, y=1 \)のとき, 定数\( a,b \)の値を求めなさい。
(3)　\( b \)は0でないとする. このとき, 連立方程式の解を\( a, b \)を用いて表しなさい。
(4)　連立方程式の解\( x,y \)がいずれも0以上の整数となるとき, 正の整数\( a, b \)の値を求めなさい。また, このときの\( x, y \)の値を求めなさい。

 

【答】
(1)　\( x=1, y=2 \)
(2)　\( a=-29, b=-13 \)

(3)　\( x=\dfrac{3-a}{16}, y=\dfrac{7a-5}{16b} \)
(4)　\( a=3, b=1, x=0, y=1 \)

 

問4　\( x \)は0でない有理数とする。
(1)　 \( (x+\dfrac{1}{x})^2 \)を展開しなさい。
(2)　 \( x+\dfrac{1}{x}=x^2+\dfrac{1}{x^2}=k \)が成り立つとき, \( k \)の値をすべて求めなさい。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

高校数学：定期テスト

数学I

問１\( (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz \)を因数分解せよ

 

数学A

問1  \( n^n \)の正の約数の個数が奇数であるような100以下の正の整数\( n \)はいくつあるか. 

 

問2 \( a,b \)が両方整数で\( a+b,ab \)が両方7の倍数であるとき、\( ab \)は49の倍数であることを示せ。

 

問3　\( a^2=b^2+2023 \)を満たす自然数の組\( (a,b) \)を全て求めよ。

 

数学II

問1　\( \log_{10}{2} \)は有理数か。

問2　△ABCについて, \( \cos{C}=1-\cos^2{A}-\cos^2{B} \)が成り立っている. △ABCはどのような三角形か. 

数学B

 

数学III

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

高校数学：大学入試

問１ nが2以上の整数のとき、\( n^4+4 \)は素数でないことを示せ。

問２\( n \)を自然数とする。1から\( n^2 \)までの目が等確率で出るようなサイコロをn回振る。このとき、n回とも全て相異なる目が出る確率を\( p_n \)とする。\( \lim_{n\to\infty}p_n \)を求めよ。

 

答えは\( \frac{1}{\sqrt{e}} \)

問３ \( 1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{19}-\cdots \)を求めよ

 

答えは\( \dfrac{\log{2}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}\pi}{9} \)

 

問4 \( \displaystyle\lim_{x\to \pi} \left( \dfrac{2}{1 + \cos{(x^{\sin{x}}-1)}} \right)^{\frac{1}{(x-\pi)^2}} \)を求めよ. 

 
 
 
 
 

大学数学

問1 \( (X,\mathcal{F}) \)をσ加法族として、\( \mu_1,\mu_2 \)を\( (X,\mathcal{F}) \)上の測度とする。ここで、\( \mu(A)=\mu_1(A)+\mu_2(A) \)とする。
(i) \( \mu \)が\( (X,\mathcal{F}) \)上の測度であることを示せ。
(ii) \( f \)を\( (X,\mathcal{F}) \)上の可測関数としたとき、\( \int_X fd\mu=\int_X fd\mu_1+\int_X fd\mu_2 \)を示せ。

 

問2有理数体\( \mathbb{Q} \)に対する\( x^{12}-x^6+1 \)における最小分解体を\( K \)としたとき、ガロア群\( \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}) \)を求めよ。

 

問3 次の積分を計算せよ。

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos{x}}{\cosh{x}}dx \)
問4 \( \mathbb{R}[X,Y]/(X^2+Y^2) \) と \( \mathbb{R}[X,Y]/(X^4+Y^4) \) が環として同型でないことを証明せよ.