フリー問題（仮）

！！！注意！！！''

これはアニメやドラマなどの創作物で数学の試験などのシーンを作る際に使ってもらえたらなあという妄想のもと作成されたページです。

ここに掲載されている問題は全てメンバーの自作のものですが、性質上、問題集などに掲載されている問題と一致してしまう場合があります。ご了承ください。

使用する際は作問サークルにご一報ください。謝礼等は結構です。

中学数学：定期テスト

中学1年生

問１

(1)　\( 1-2+3-4+5-6+...+97-98+99-100 \)　を計算しなさい。

(2)　\( (-2) \times 3.5 + \dfrac{9}{8} \div (2.6-4.1)^2 \)　を計算しなさい。

(3)　\( 1320 \)　を素因数分解しなさい。

問2

(1)　\( \dfrac{5x+2}{6}-\dfrac{3x-7}{4} \)　を計算しなさい。

(2)　一次方程式　\( 0.02x-6.77=0.12x+1 \)　を解きなさい。

問3

(1)　\( y \)は \( x \)に比例し、 \( x=-12 \)のとき \( y=3 \)です。このとき、 \( y \)を \( x \)の式で表しなさい。

(2)　\( y \)は \( x \)に反比例し、 \( x=-7 \)のとき \( y=2 \)です。このとき、 \( y \)を \( x \)の式で表しなさい。

中学2年生

問4

(1)　\( A=3x+5y , B=7x-2y \)　とするとき、\( 3A-2B \)を計算しなさい。

(2)　\( 3ax-4by=p \)　を\( x \)について解きなさい。

問5　日本では気温を摂氏温度(℃)で表すことが多いですが、アメリカなどでは気温を華氏温度(℉)で表すことがあります。

摂氏温度\( x \)(℃)と華氏温度\( y \)(℃)は、以下の関係式を満たします。
        \( y=\dfrac{9}{5}x+32 \)
これを用いて、以下の問いに答えなさい。
(1)　摂氏-10℃は華氏温度で何℉か求めなさい。
(2)　華氏77℉は摂氏温度で何℃か求めなさい。
(3)　上の式を、\( x \)について解きなさい。

問6三角形の内角の和が180°になることを証明しなさい。

中学3年生

問7　

(1)　\( a=18+\sqrt{97} \)のとき、\( a^2-36a+324 \)の値を求めなさい。

(2)　\( 5x^2-7x+1=0 \)を解きなさい。

(3)　表面積が \( 12\pi \)である球の体積を求めなさい。

(4)　\( y=x^2 \)のグラフ上に、3点\( A(1,1),B(-2,4),C(a,b) \)がある。三角形ABCの面積が3となるようなaとbの値を全て求めなさい。

【答】

問1  (1) -50　(2) -13/2  (3) \( 2^3 \times 3 \times 5 \times 11 \)

問2  (1) \( \frac{x+25}{12} \)　(2) \( x=-77.7 \)

問3  (1) \( y=\frac{1}{4}x \)　(2) \( y=-\frac{14}{x} \)

問4  (1) \( -5x+19y \)　(2) \( x=\frac{4by+p}{3a} \)

問5  (1) 14℉  (2) 25℃  (3) \( x=\frac{5}{9}y-\frac{160}{9} \)
問6  三角形ABCに対しAを通ってBCに平行な補助線を引く。同位角と錯角の性質を用いると、内角が1か所に集まり、角A+角B+角C=180°が言える。
問7  (1) 97  (2) \( x=\frac{7\pm\sqrt{29}}{10} \)　(3)

中学数学：高校入試

問１
(1)　\( \begin{cases}
3p+5q=23\\
5q-2q=-3
\end{cases} \)を満たす\( (p,q) \)の組を求めなさい。

(2)　\( \begin{cases}
3(x-2)^2+5(y+5)^2=23\\
5(x-2)^2-2(y+5)^2=-3
\end{cases} \)を満たす\( (x,y) \)の組を求めなさい。

【答】
(1)　\( (p,q)=(1,4) \)

(2)　\( (x,y)=(3,-3), (3, -7), (1, -3), (1, -7) \)

問2　\( a \)は正の数であり, \( a \)の整数部分を\( x \), 小数部分を\( y \)とする。以下の問いに答えなさい。
(1)　\( (x-1)(y-1)(x-2)(y-2)・・・(x-100)(y-100)=0 \)となる\( a \)の範囲を求めなさい。
(2)　\( xy=\dfrac{1}{2}, x^4y^2+xy+x^2y^4=\dfrac{97}{64} \)となる\( a \)を求めなさい。

【答】

(1)　\( 1\leqq a < 101 \)

(2)　\( a=\dfrac{9}{4} \)

問3　連立方程式

\( \begin{cases}
5x+3by=a\\
7x+by=1
\end{cases} \)
について次の問いに答えなさい。
(1)　\( a=13, b=-3 \)のとき, 連立方程式を解きなさい。
(2)　連立方程式の解が\( x=2, y=1 \)のとき, 定数\( a,b \)の値を求めなさい。
(3)　\( b \)は0でないとする. このとき, 連立方程式の解を\( a, b \)を用いて表しなさい。
(4)　連立方程式の解\( x,y \)がいずれも0以上の整数となるとき, 正の整数\( a, b \)の値を求めなさい。また, このときの\( x, y \)の値を求めなさい。

【答】
(1)　\( x=1, y=2 \)
(2)　\( a=-29, b=-13 \)

(3)　\( x=\dfrac{3-a}{16}, y=\dfrac{7a-5}{16b} \)
(4)　\( a=3, b=1, x=0, y=1 \)

問4　\( x \)は0でない有理数とする。
(1)　 \( (x+\dfrac{1}{x})^2 \)を展開しなさい。
(2)　 \( x+\dfrac{1}{x}=x^2+\dfrac{1}{x^2}=k \)が成り立つとき, \( k \)の値をすべて求めなさい。

【答】

(1)　\( x^2+2+\dfrac{1}{x^2} \)

(2)　\( k=2 \)

問5　\( A=\sqrt{x+y}, B=\sqrt{x-y} (0<y<x<15) \)とする。\( A,B \)がともに自然数となるような整数\( x,y \)の組をすべて求めなさい。

問6　\( \sqrt{2023} \)の小数第一位を求めなさい。

高校数学：定期テスト

数学I

問１\( (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz \)を因数分解せよ。

問２\( f(x,\theta)=x^2-4x+(\sin{\theta}+2\cos^2{\theta}+2)^2 \)とする。ただし，\( (-3\leqq x \leqq 3, 0\leqq \theta \leqq 180^{\circ}) \)である。

(1)　\( f(x,45^{\circ}) \)の最大値, 最小値を求めよ。

(2)　\( f(2,\theta) \)の最大値, 最小値を求めよ。

(3)　\( f(x,\theta) \)の最大値，最小値を求めよ。

数学A

問1  \( n^n \)の正の約数の個数が奇数であるような100以下の正の整数\( n \)はいくつあるか. 

問2 \( a,b \)が両方整数で\( a+b,ab \)が両方7の倍数であるとき、\( ab \)は49の倍数であることを示せ。

問3　\( a^2=b^2+2023 \)を満たす自然数の組\( (a,b) \)を全て求めよ。

問4　\( 2023! \)　は10で何回割り切れるか。

数学II

問1　\( \log_{10}{2} \)は有理数か。

問2　△ABCについて, \( \cos{C}=1-\cos^2{A}-\cos^2{B} \)が成り立っている. △ABCはどのような三角形か. 

問3　\( 12^{60} \)について，あとの問いに答えよ。ただし，\( \log_{10}{2}=0.3010, \log_{10}{3}=0.4771 \)とする。

(1)　\( 12^{60} \)は何桁の整数か。

(2)　\( 12^{60} \)の最高位の数を求めよ。

(3)　\( 12^{60} \)の一の位を求めよ。

(4)　\( 12^{60} \)の百の位を求めよ。

数学B

問1 点\( (0,0,1) \)を、直線\( x=y=z \)を軸にして、60°回転させたときの座標を求めよ。（回転の向きによって2つあるので、2つ全て答えよ）

問2　実数からなる数列\( \{a_n\} \)の初項から第\( n \)項までの積\( T_n \)が\( T_n=\dfrac{1}{a_n} \)であるような数列\( \{a_n\} \)の一般項を求めよ。

数学III

高校数学：大学入試

問１ nが2以上の整数のとき、\( n^4+4 \)は素数でないことを示せ。

問２\( n \)を自然数とする。1から\( n^2 \)までの目が等確率で出るようなサイコロをn回振る。このとき、n回とも全て相異なる目が出る確率を\( p_n \)とする。\( \lim_{n\to\infty}p_n \)を求めよ。

答えは\( \frac{1}{\sqrt{e}} \)

問３ \( 1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{19}-\cdots \)を求めよ

答えは\( \dfrac{\log{2}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}\pi}{9} \)

問4 \( \displaystyle\lim_{x\to \pi} \left( \dfrac{2}{1 + \cos{(x^{\sin{x}}-1)}} \right)^{\frac{1}{(x-\pi)^2}} \)を求めよ. 

大学数学

問1 \( (X,\mathcal{F}) \)をσ加法族として、\( \mu_1,\mu_2 \)を\( (X,\mathcal{F}) \)上の測度とする。ここで、\( \mu(A)=\mu_1(A)+\mu_2(A) \)とする。
(i) \( \mu \)が\( (X,\mathcal{F}) \)上の測度であることを示せ。
(ii) \( f \)を\( (X,\mathcal{F}) \)上の可測関数としたとき、\( \int_X fd\mu=\int_X fd\mu_1+\int_X fd\mu_2 \)を示せ。

問2有理数体\( \mathbb{Q} \)に対する\( x^{12}-x^6+1 \)における最小分解体を\( K \)としたとき、ガロア群\( \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}) \)を求めよ。

問3 次の積分を計算せよ。