리 のバックアップ(No.13)

自己紹介

名前:리(り) (リムリムとよばれる)

所属:理学部数学系4回生

Twitter

(本垢): https://twitter.com/Lim_Rim_

(どちゃ楽数学bot): https://twitter.com/solove_math

これは高1の頃に作った自分なりに好きな問題を集めたbotです。 

 

ブログ:http://limrim-soeasymath.hatenablog.com/

マシュマロ(質問用): https://marshmallow-qa.com/lim_rim_

 

備考: 作問サークル前団長・創始者。商業高校卒→1浪→理学部特色に合格。学コンに自作問題がよく載る。Kpopをよく聴くのでアイコンがそれ系(AespaのWinterが好き)。Twitterのいいね数で人を判断することがある(ファボ爆が嫌い)。2019ガロア祭で大賞になった。好きな色はピンク。 

 

興味

数論幾何を志望してます。好みは代数ですが, 代数, 幾何, 解析の融合地帯的な部分に興味があります。保型形式は「数論, 代数幾何, 複素解析, 表現論」が交わる分野らしくて気になってる。表現論がやっかい・・・。

 

(2021/1/25) 最近は少し気が変わって, おそらく自分の問題意識を掘っていくと「数論」が中心的で, それと繋がる幾何とはなんなのか,というのが気になっている。(あくまで自分は整数論的な現象に興味があるのであって, 多項式の零点集合がどうなってるだとかいう「代数幾何」に興味があるわけではないと思った.) だから楕円曲線とかも興味の対象.  モジュラー形式の勉強はそれを意識した感じで行きたい。好きな分野はスキーム論, 数論, 代トポかなと思っているので, 「数論的位相幾何学」に進めないだろうかと考えている。(この分野の本は「結び目と素数」ぐらいしかない。)

 

(更新2022/03/08) 講究のモジュラー形式はまあまあ楽しかったが, なんかこれじゃない感があった。今はアラケロフ幾何学やディオファントス幾何学らへんに興味が湧いている。M脇先生に「代数幾何はもちろん複素幾何も必要」と言われ, まだまだ勉強が必要. 

 

最近読んでる本

(更新: 2022/03/08)

 
  • Hartshorne「代数幾何学」(§2.8) 似顔絵氏君と最近よく読んでます. しぬほどむずい. 行間地獄. RIMSのほうでM0セミナーを聴講させてもらったりもしてます.  
  • Qing Liu "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves"(§8.1あたりを見てるが5章や6章がいろいろ未完了. ) まあどっかの誰かより比較的丁寧ですがまあ分厚いこと。1ページの重みがつらいです。
  • 森脇淳「アラケロフ幾何学」 (Sec2.2) 専門をこのへんにしたいと思ってるのでちょびちょび読んでます。複素幾何もスキームもいるらしい
  • 森脇・川口・生駒 "The Mordell Conjecture: A Complete Proof from Diophantine Geometry". (§3.4)森脇先生にお話しに行ったところ、英語版の印刷物をいただけた。§2は代数的整数論のあたりの復習。証明の書き方が個人的に結構好きでわかりやすい！　頑張って読みたい！
  • Joseph Silverman "The Arithmetic of Elliptic Curves" (§6.4) 楕円曲線の標準的な教科書。いわゆるAECで, 数論幾何やるなら絶対やっとけ的なあれを感じる。似顔絵氏君と定期的に読み合わせしてます(Mordell Weilの証明が終わるまでを目標にしてる)。最初の代数幾何パートがハーツホーンに投げられてたりするけどそこ飲み込めれば3章からは結構楽しく読めると思う。あんまり行間はなくて良いと思います。演習問題はちょっと辛そうです。
  • 小林昭七「複素幾何」(§2.2) ふじおか君と読んでいます. アラケロフ幾何で必要になると言われたためにやる。
 

少し読んだ本・いつか読みたい本

いろいろ停滞してます. 

  • 堀川「複素代数幾何学入門」　あんまり例とかを載せてくれない印象。幾何が苦手なので難しいなあと思って4章で力尽きてしまった。(3/8) 因子(Divisor)に初めて出会ったのがこの本で, 当時はなんか辛かったが今なら読める気がする. 
  • 寺杣『リーマン面の理論』 誤植というか文構成ミスみたいなのがまあまあある気がする. 演習問題の位置もなんか間違えてるんでは?  Riemann-Rochあたりの勉強をするために読んでたけど, なんか難しいです. 最後のほうに少し数論的な話もある.
  • Otto Forster "Riemann Surfaces" リーマン面の教科書。 これが一番いいと思います。あと前半で被覆空間の理論とかやるので, 幾何学入門の予習復習なりしたい人はこれ読むのもアリだと思います。
  • 雪江明彦「整数論2 代数的整数論の基礎」青雪江の3倍くらいむずい。類数の決定の例とか整数環の基底決定とかの例ノ部分がとても大変だがこういうのが知れるのは良いと思う. p進になれてないと辛いけどGouveaのおかげで最近は少し見通しが良くなった気がする。 Kronecker-Waberと6章が読めてない.
  • Fernando Gouvea "p-adoc numbers, An introduction". すごく読みやすい. p進が苦手な人, おすすめです。演習問題が比較的簡単で, 全部解答もついてる。 ''代数体Kにp進絶対値を拡張する方法のあたりもわかりやすい。
  • Cassels "Local Fields" p進とか非アルキメデス的なもののことが書かれてある。漸化式やDiophantus方程式への応用についても書かれており, モチベが上がるような面白い例がいろいろ見れると思う。たとえば,こんな結果が知られている。→ https://twitter.com/solove_math/status/1500299603119587330?s=20&t=stj5D4dr6yryqrjaD3QIBA
  • Fulton-Harris「Representaiton Theory --A first course--」(§3.4. ふじおか君と勉強会をしてたが停滞
  • Diamond-Shurman "A First Course in Modular Forms" 講究本. 似顔絵氏と2人で, I先生の監督でやった. モジュラー形式やモジュラー曲線に関する本. 予備知識が少ないように書かれてあるが, リーマン面の勉強をしておくとスムーズになると思う。行間もそんなに多くなくむしろ解説の丁寧さの余りに逆に何言ってんだみたいな感じすらすることもある.  いろいろ面倒ごとを飛ばしながら読んで, §6の6.5くらいで終了した. §7以降は楕円曲線の復習だったりでなんか怠くなってくるので, まあまあ。
 
 
 
 
 

持ってる本

経済活動に貢献してるだけなものがいろいろあります。困ったときの参考書くらいに思ってる。

  • Koblitz 楕円曲線と保型形式　これはDiamond-Shurmanの副読本にするかもしれない。分厚いけどよさそう。
  • 松村可換環論　スキーム論で可換環論をよくやるので困ったときの参考書です。読み通す気力はまだない。
  • Bott-Tu, Differential forms in Algebraic Topology　幾何学IIはこいつを読まないと死にます。特異ホモロジーとかはあんまり書いてない。
  • 小木曽代数曲線論　寺杣リーマン面の副読本とかにしたいと思ったけどForsterよんでる
    Sheaves in Geometry and Logic　1章の少ししか読んでないけど気になる　ていうかいずれ要るのかな・・・ 
    「結び目と素数」　これは, 数論的位相幾何学という気になってる分野の唯一の本。本当に2年後くらいになりそう
  • 層ホモ

繭野「わかりやすい虚数乗法入門」　わかりやすい気がする。

だいたい読んだつもりの本

  • Northcott「ホモロジー代数」

2回後期に触れた。非常に行間が少ない。加群論をやってみて, 「こいつキライだわ」って思ったら読むと良いと思う(加群恐怖症は治った)。最後らへんの章は、わからん。まだホモロジー代数をものすごく使うような場面に遭遇していないので, 何がよく使われるのかの把握はできておらず、ぼんやりしてしまっている。とりあえず加群嫌いが無くなりました. 

  • Atiyah-Macdonald「可換代数入門」

可換環論の有名な本。なんでもこの本に乗っとるわって感じがする。演習は143問くらいやった。10章,11章がまだ身につかない。

  • 雪江明彦, 代数学2「体とガロア理論」(青雪江)

1回生に読んでいた。環論→加群論→体論→ガロア理論。最初は演習に恐怖があってあんまりやらなかったけど, 3回生の頃にやってみたらめちゃくちゃ簡単だなってなった。代数学IIの参考書としてはかなり有用ですが, 可換環論は青雪江では足りない気がするので代数学Iを頑張りたかったらアティマクは必携。ただ, やはり良い本だと思う. 

  • T.レンスター「ベーシック圏論」

一番好きな本。2回の冬休みを使って読んだ。順極限や逆極限のことを理解したいという思いで始めた。米田の補題を自力で示せたので良い青春だった。5章からがめちゃくちゃ楽しいので5章まで諦めてほしくない。2回生くらいの軽い知識(群論, 線形代数, 位相, 環論など)があると具体例も理解しやすいので読みやすいと思う。普遍性や極限について慣れることができた. 

  • J.S.Chahal「数論入門講義」2回生の冬休みに剛速球で読んだ。整数論の入門書。群論を導入するチャプターもあり, 高校数学まででも結構読めるようになっている。四平方和定理,二平方和定理,平方剰余相互法則,楕円曲線など楽しい話題がいっぱいあり, 代数幾何学的なアイデアもいろいろ乗っているが, 入門書という感じの雰囲気で書かれている。これを高校生がやるのはアリだと思う。
  • 桝田「代数的トポロジー」幾何学IIの後半の内容を勉強するために読んでいた。個人的には結構好きなのだが, たぶん専門にする人にとっては足りなく感じるのかも。というのも, Mayer-Vietoris系列はほんの紹介程度にしか載せていなかったりするから。
 
 
 
 
 
 
 

時間割

2020前期

月火水木金
1
2幾何特論2位相幾何学幾何1確率論解析1
3整数論函数解析続論幾何1代数幾何解析1
4解析演義代数演義幾何演義
5解析演義代数演義幾何演義
 

備考: フル単の予定。激甘単位が多かった。数学科最高！

 

おすすめの自作問題

自作問題は150問くらいあるっぽくて, 世間に公開していないものも多いです。整数問題が好きですが,他はてきとーに作ってる。整数と幾何の融合問題が好きです。

 

個人的に気に入っている問題を5つ紹介します。

 

問1(2019学コン6月号5番)

\( n \)を正の整数, \( e \)を自然対数の底とする。
(1) \( f_n(x) = 1+x+\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^{3}}{3!} + \cdots + \dfrac{x^{n}}{n!} \)とするとき, \( x>0 \)において\( 0 < e^{x} - f_n(x) < \dfrac{e^{x}x^{n+1}}{(n+1)!} \)
であることを示せ。
(2) \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \cos{\frac{2\pi e n!}{3}} = -\frac{1}{2} \)を示せ。

問2(2019新勧ビラ問題)

\( f(x) = x^2 + x+1 \)とし, \( \omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)とする。
(1) \( |f(\sqrt[3]{2}\omega)|<1 \)を示せ。
(2) \( f(\sqrt[3]{2})^{2019} \)に最も近い整数を8で割ったあまりを求めよ。

問3(自作模試第四弾理系6番)

三角形\( T \)の1つの辺の長さは平方数であり, 残りの辺の長さは素数である。また \( T \)の面積は整数で, 外接円の直径は素数であるとする。\( T \)の各辺の長さを求めよ。

 

問4(自作模試第4段理系4番)

\( n \)を正の整数とする。実数\( a \)に対し, \( I_n(a) = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos^{n}{x} - a\sin^{n}{(2x)}|\,dx \)とおく。\( I_n(a) \)の最小値を\( m_n \)とおく。\( n \)を正の整数全体で動かすときの\( m_n \)の最大値を求めよ。

 

問5(2020新勧ビラ問題)

\( p \)を素数, \( n \)を2以上の整数とする。\( \dfrac{p^n+1}{p+1} \)は\( n^2 \)で割り切れないことを証明せよ。(難易度:数オリくらい)

 
 
 
 
 
 
 
 

その他

 

自作模試

 

書いたもの