리 のバックアップ(No.10)

自己紹介

名前:리(り) (リムリム, 恋するヘドロとも呼ばれる)

所属:理学部数学系4回生

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備考: 作問サークル団長(創始者)。商業高校卒→1浪→特色入試という変な経歴を持っている。学コンに自作問題がよく載る。K-popの人を見るのが好き(Fromis_9, IZ*ONE, WJSN)。ふぁぼ爆が大嫌い。2019ガロア祭大賞。

 

興味

数論幾何学を目指したいと思っています。好みは代数ですが, 代数, 幾何, 解析の融合地帯的な部分に興味があります。保型形式は「数論, 代数幾何, 複素解析, 表現論」が交わる分野らしくて気になってる。表現論がやっかい・・・。

 

(1/25) 最近は少し気が変わって, おそらく自分の問題意識を掘っていくと「数論」が中心的で, それと繋がる幾何とはなんなのか,というのが気になっている。だから楕円曲線とかもやってみたいので, 保型形式の勉強はそれを意識した感じで行きたい。好きな分野はスキーム論, 数論, 代トポかなと思っているので, 「数論的位相幾何学」に進めないだろうかと考えている。(この分野の本は「結び目と素数」ぐらいしかない。)

最近読んでる本

 
  • Hartshorne「代数幾何学」(現在のメイン, Sec2.5) [停止中] 連接層分かんねえ！！
  • 雪江明彦「整数論2 代数的整数論の基礎」(Sec5.6) [停止中]
  • Qing Liu「Algebraic Geometry and Arithmetic Curves」 (Sec4.3.)
  • Fulton-Harris「Representaiton Theory --A first course--」(3.1)
  • Diamond-Shurman「A First Course in Modular Forms」(1.3)
 

停滞してる本・いつか読みたい本

  • 堀川「複素代数幾何学入門」　あんまり例とかを載せてくれない印象。幾何が苦手なので難しいなあと思って4章で力尽きてしまった。
  • Sheaves in Geometry and Logic　トポス理論の本。時間が取れないので読めないが, 代数幾何に源流があるだのなんだので気になっている。普通に圏論は楽しい。
  • 「結び目と素数」　これは, 数論的位相幾何学という気になってる分野の唯一の本。本当に2年後くらいになりそう。。
  • 「層とホモロジー代数」　読むタイミングが、ない。まあ必要になったらでもいいかな。
    Peter Schneider「Nonarchemedean Functional Analysis」　　なんとなく読んでた。p進函数解析っていう分野の本。こういう珍妙な分野に興味を持たずにはいられないが, 読む暇なくなった。いつか再挑戦。案外読めそうな雰囲気はしていた。
 
 
 

持ってる本

経済活動に貢献してるだけなものがいろいろあります。困ったときの参考書くらいに思ってる。

  • Koblitz 楕円曲線と保型形式　これはDiamond-Shurmanの副読本にするかもしれない。分厚いけどよさそう。
  • 松村可換環論　スキーム論で可換環論をよくやるので困ったときの参考書です。読み通す気力はまだない。
  • Bott-Tu, Differential forms in Algebraic Topology　幾何学IIはこいつを読まないと死にます。特異ホモロジーとかはあんまり書いてない。
  • 小木曽代数曲線論　寺杣リーマン面の副読本とかにすると思う。

だいたい読んだつもりの本

  • Northcott「ホモロジー代数」

2回後期に触れた。非常に行間が少ない。加群論をやってみて, 「こいつキライだわ」って思ったら読むと良いと思う(加群恐怖症は治った)。最後らへんの章は、わからん。まだホモロジー代数をものすごく使うような場面に遭遇していないので, 何がよく使われるのかの把握はできておらず、ぼんやりしてしまっている。

  • Atiyah-Macdonald「可換代数入門」

可換環論の有名な本。なんでもこの本に乗っとるわって感じがする。演習は141問くらいやった。10章,11章がまだ身につかない。

  • 雪江明彦, 代数学2「体とガロア理論」(青雪江)

1回生に読んでいた。環論→加群論→体論→ガロア理論。最初は演習に恐怖があってあんまりやらなかったけど, 3回生の頃にやってみたらめちゃくちゃ簡単だなってなった。代数学IIの参考書としてはかなり有用ですが, 可換環論は青雪江では足りない気がするので代数学Iを頑張りたかったらアティマクは必携。

  • T.レンスター「ベーシック圏論」

一番好きな本。2回の冬休みを使って読んだ。順極限や逆極限のことを理解したいという思いで始めた。米田の補題を自力で示せたので良い青春だった。5章からがめちゃくちゃ楽しいので5章まで諦めてほしくない。2回生くらいの軽い知識(群論, 線形代数, 位相, 環論など)があると具体例も理解しやすいので読みやすいと思う。

  • J.S.Chahal「数論入門講義」2回生の冬休みに剛速球で読んだ。整数論の入門書。群論を導入するチャプターもあり, 高校数学まででも結構読めるようになっている。四平方和定理,二平方和定理,平方剰余相互法則,楕円曲線など楽しい話題がいっぱいあり, 代数幾何学的なアイデアもいろいろ乗っているが, 入門書という感じの雰囲気で書かれている。高校生がやるのはアリ。
  • 桝田「代数的トポロジー」幾何学IIの後半の内容を勉強するために読んでいた。個人的には結構好きなのだが, たぶん専門にする人にとっては足りなく感じるのかも。というのも, Mayer-Vietoris系列はほんの紹介程度にしか載せていなかったりするから。
 
 
 
 
 

時間割

2020前期

月火水木金
1
2幾何特論2位相幾何学幾何1確率論解析1
3整数論函数解析続論幾何1代数幾何解析1
4解析演義代数演義幾何演義
5解析演義代数演義幾何演義
 

備考: フル単の予定。激甘単位が多かった。数学科最高！

 

おすすめの自作問題

自作問題は150問くらいあるっぽくて, 世間に公開していないものも多いです。整数問題が好きですが,他はてきとーに作ってる。整数と幾何の融合問題が好きです。

 

個人的に気に入っている問題を5つ紹介します。

 

問1(2019学コン6月号5番)

\( n \)を正の整数, \( e \)を自然対数の底とする。
(1) \( f_n(x) = 1+x+\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^{3}}{3!} + \cdots + \dfrac{x^{n}}{n!} \)とするとき, \( x>0 \)において\( 0 < e^{x} - f_n(x) < \dfrac{e^{x}x^{n+1}}{(n+1)!} \)
であることを示せ。
(2) \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \cos{\frac{2\pi e n!}{3}} = -\frac{1}{2} \)を示せ。

問2(2019新勧ビラ問題)

\( f(x) = x^2 + x+1 \)とし, \( \omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)とする。
(1) \( |f(\sqrt[3]{2}\omega)|<1 \)を示せ。
(2) \( f(\sqrt[3]{2})^{2019} \)に最も近い整数を8で割ったあまりを求めよ。

問3(自作模試第四弾理系6番)

三角形\( T \)の1つの辺の長さは平方数であり, 残りの辺の長さは素数である。また \( T \)の面積は整数で, 外接円の直径は素数であるとする。\( T \)の各辺の長さを求めよ。

 

問4(自作模試第4段理系4番)

\( n \)を正の整数とする。実数\( a \)に対し, \( I_n(a) = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos^{n}{x} - a\sin^{n}{(2x)}|\,dx \)とおく。\( I_n(a) \)の最小値を\( m_n \)とおく。\( n \)を正の整数全体で動かすときの\( m_n \)の最大値を求めよ。

 

問5(2020新勧ビラ問題)

\( p \)を素数, \( n \)を2以上の整数とする。\( \dfrac{p^n+1}{p+1} \)は\( n^2 \)で割り切れないことを証明せよ。(難易度:数オリくらい)

 
 
 
 
 
 

その他

 

自作模試

 

書いたもの