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*自己紹介 [#sb65ffd2]

数学系
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twitter:[[@shakayami_>https://www.twitter.com/shakayami_]]
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homepage:[[homepage of shakayami>https://shakayami.github.io/]]
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blog1:[[shakayamiの日記>https://shakayami.hatenablog.com/]]
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blog2:[[数学についていろいろ解説するブログ>https://shakayami-math.hatenablog.com/]]

*自作問題 [#va52b371]
** ビラ [#t2543b38]
-2019年NFビラ問1
&mathjax{f(x)=e^x\sin{x}};とする.このとき正の実数列&mathjax{\{a_n\}};は&mathjax{f(x)};の&mathjax{x=a};での接線が原点を通るような&mathjax{a};を小さい順に取っている.
(1) &mathjax{\lim_{n\to\infty}\tan{a_n}};を求めよ
(2) (1)で求めた極限の値を&mathjax{\alpha};としたとき、&mathjax{\lim_{n\to\infty}n(\tan{a_n}-\alpha)};を求めよ.
-2020年新歓ビラ問1
&mathjax{p,q};を素数としたとき, &mathjax{{}_{pq}C_p\equiv q\pmod{p}};であることを示せ.
-2020年NFビラ問4
&mathjax{f(x),g(x)};を0でない多項式とする.このとき,以下の条件を満たす多項式&mathjax{f_i(x),g_i(x)(i=0,1,2)};が存在することを示せ.
#mathjax(\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f_0(x^3)}{g_0(x^3)}+x\dfrac{f_1(x^3)}{g_1(x^3)}+x^2\dfrac{f_2(x^3)}{g_2(x^3)})
-2021新歓ビラ問6
以下の極限を求めよ(gcdは最大公約数)
#mathjax(\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}\sum_{c=1}^{n}\mathrm{gcd}(a,b,c))
** 作サー模試 [#le7efe05]
問題は載せられないので何年の何問目かだけ書きます
-2019年NF模試理系第1回の問5
-2019年NF模試文系第1回の問1
-2020年NF模試文系第1回の問1([[리]]との共作)
-2022年NF模試理系第1回の問6
-2023年NF模試理系第2回の問2
** 部誌に載ったもの [#qe5fc098]
全ては紹介できないので一部だけ載せます。詳しくは部誌を買ってください
- &mathjax{\lim_{n\to\infty}\cos^{n^2}{(2\pi e n!)}};を求めよ.
- M高校でK大学模試を受けたのは4人だとしたとき、そのうちの4人のうちの1人であるAさんの校内偏差値としてとりうる値を求めよ.
- &mathjax{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^ky^{n-k}}{n!}\binom{n}{k}};を求めよ.&mathjax{\binom{n}{k}};は二項係数
- &mathjax{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^ky^{n-k}}{n!}s(n,k)};を求めよ. s(n,k)は第一種スターリング数
- &mathjax{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^ky^{n-k}}{n!}S(n,k)};を求めよ.S(n,k)は第二種スターリング数
- 漸化式&mathjax{a_1=1,a_{n+1}=a_n+\sqrt{1+{a_n}^2}};となる数列において,&mathjax{\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{cr^n}=1};になるような定数&mathjax{c,r};を求めよ.
- 三角形ABCは鋭角三角形　面積S　外接円の半径R　内接円の半径r　このとき平面上の点Pであって、&mathjax{\{AP,BP,CP\}};の中央値がR以下となるような領域を図示して面積を求めよ


**大数に載ったもの [#i42e2f1b]
-&mathjax{\alpha,\beta};を正の実数の定数とする.&mathjax{\triangle ABC};は&mathjax{\angle A=60^{\circ},BC=\sqrt{3}};を満たしている.このとき,&mathjax{AB=x,AC=y};と定めたときの&mathjax{\alpha x+\beta y};の最大値を&mathjax{\alpha,\beta};で表せ.（&size(16){2022年11月号　学力コンテスト　問2};）
-&mathjax{y=\sin{x},y=0};で囲まれた領域を&mathjax{y=mx};によって面積比が&mathjax{1:n};になるように分割する.ここで,&mathjax{y\lt mx};の領域：&mathjax{y\gt mx};の領域&mathjax{=n:1};となるようにする.
このとき,&mathjax{y=mx};と&mathjax{y=\sin{x}};の交点の&mathjax{x};座標のうち,0でないものを&mathjax{\alpha_n\};とする.&mathjax{\lim_{n\to\infty} n(\alpha_n)^k};が0以外の有限値に収束するときの&mathjax{k};の値とその極限値を求めよ.ただし極限&mathjax{\lim_{x\to\infty}\dfrac{x-\sin{x}}{x^3}=\dfrac{1}{6}};は証明せずに用いてもよい.（&size(16){2023年2月号　読者の新作問題};）
** その他 [#i4dde437]
-[[OMC057>http://onlinemathcontest.com/contests/omc057]]
-[[KUPC2021のH問題>https://atcoder.jp/contests/kupc2021/tasks/kupc2021_h]]
-[[NF杯2023>https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023]]のG問題とN問題

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**問1 [#i8f97478]

&mathjax{A};を&mathjax{n};次の実数係数の正定値な対称行列とする。このとき、
#mathjax(\sup_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel},\inf_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel})

は共に&mathjax{A};の固有値であることを示せ
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**問2 [#ca9bbe4b]

&mathjax{k};を正の整数とし、関数&mathjax{f[0,1]\to\mathbb{R}};は&mathjax{C^k};級である。&br;ここで、&mathjax{f(1)=f'(1)=\cdots=f^{(k-1)}(1)=0};が成立しているものとする。&br;このとき、以下の極限値を求めよ。
#mathjax(\lim_{n\to\infty}n^{k+1}\int_{0}^{1}x^nf(x)dx)
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**問3 [#kc1f21c6]

&mathjax{\mathbb{F}_7};を位数7の有限体とする。このとき、&br;&mathjax{\mathbb{F}_7};係数の3次の既約モニック多項式はいくつあるかを求めよ。
#br
**問4 [#h366dafe]

&mathjax{\mathbb{F}_p};を位数&mathjax{p};の有限体とする。&mathjax{\mathbb{F}_p};係数の&mathjax{n};次正方行列を各成分の値を&mathjax{p};面サイコロを振って出した値で決める。このときできた行列が正則である確率を&mathjax{a_n};とおくと、&mathjax{\lim_{n\to\infty}a_n};はある値&mathjax{\alpha};に収束して、かつ&mathjax{\alpha \in (0,1)};を満たすことを示せ。
#br
**問5 [#i556fa09]

自然数&mathjax{n};について、以下の等式を示せ。
#mathjax(\sum_{k=0}^{n}\frac{({}_nC_{k})^2}{{}_{2n}C_{2k}}=\frac{4^n}{{}_{2n}C_n})

*解答 [#jdef946a]

**問1 [#q10bad2e]

&mathjax{A};の固有値を&mathjax{\lambda_1,\ldots,\lambda_n};、対応する固有ベクトルを&mathjax{v_1,\ldots,v_n};とする。ここで、&mathjax{A};が正定値・対称行列より、&mathjax{0<\lambda_1\leq \cdots\leq\lambda_n};であり、&mathjax{\{v_1,\ldots,v_n\}};は&mathjax{\mathbb{R}^n};の正規直交基底としてもよい。このとき、&mathjax{x=x_1v_1+\cdots+x_nv_n};（ただし&mathjax{x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}};）とすると
#mathjax(\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel}=\sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}})

となっている。よって、
#mathjax(\lambda_1=\sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_1}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}\leq \sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}\leq \sqrt{\frac{{\lambda_n}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}=\lambda_n)

となっている。&br;よって、&mathjax{(x_1,\ldots,x_n)=(1,0,\ldots,0)};と&mathjax{(x_1,\ldots,x_n)=(0,\ldots,0,1)};の場合を考えることでsupとinfが求まる。

**問2 [#i4e34fd4]

後で証明を書く予定です。

答えは確か&mathjax{(-1)^kf^{(k)}(1)};になるはずです。

k回くらい部分積分をすればOKです。

**問3 [#ac912992]
#mathjax(x^{343}-x)

は、&mathjax{x^7-x};に&mathjax{\mathbb{F}_7[x]};上の三次既約モニック多項式を全部掛けたものと等しくなる。

よって、両辺の次数を比較することで答えがわかる。

解を&mathjax{n};とおくと、&mathjax{343=7+3n};より、&mathjax{n=112};となる。

**問4 [#a1c19864]
#mathjax(a_n=\prod_{i=1}^{n}\left(1-\frac{1}{p^i}\right))

より、
#mathjax(\lim_{n\to\infty}a_n=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p^n}\right)=\exp\left(\sum_{n=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{1}{p^n}\right)\right))

となる。expの中身の級数が収束することはダランベールの判定法より保証される。

**問5 [#k2508672]
#mathjax({}_{2n}C_n\frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_{2k}}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{k!\cdot k!\cdot (n-k)!\cdot (n-k)!}\cdot\frac{(2k)!(2n-2k)!}{(2n)!})
#mathjax(=\frac{(2k)!}{k!\cdot k!}\cdot \frac{(2n-2k)!}{(n-k)!\cdot (n-k)!})
#mathjax(={}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k})

これを&mathjax{0\leq k\leq n};で総和を取ったものが&mathjax{4^n};に等しいことを示せればよい。

ここで、&mathjax{\frac{1}{\sqrt{1-4x}}};のテイラー展開は
#mathjax(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^{\infty}{}_{2n}C_nx^n)

となっている。ただし、&mathjax{|x|<1/4};である。これの二乗を畳み込みで計算すると、
#mathjax(\frac{1}{1-4x}=\left(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\right)^2=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k}\right)x^n)

ここで、
#mathjax(\frac{1}{1-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}4^nx^n)

であるため、
#mathjax(\sum_{n=0}^{\infty}4^nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k}\right)x^n)

となり、係数を比較することで
#mathjax(4^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k})

を得る。