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#attachref(./saKUmonCircle_icon.jpg,nolink)
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実はこのアイコンは、数学的な考察によって作られています。
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まず単位円&mathjax{x^2+y^2=1};があります。
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次に、4本の直線&mathjax{y=\pm m(x\pm 1)};（複合任意）があります。
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このとき、円がいくつかの領域に分かれます。
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「京」「大」「作」「問」が書かれている4つの円の半径はなるべく大きくなってもらわないと、ですよね。ではいつ最大になるのでしょうか?
「京」「大」「数」「学」が書かれている4つの円の半径はなるべく大きくなってもらわないと、ですよね。ではいつ最大になるのでしょうか?
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まず、ひし形が円の内部に入っているような状況を考えると、&mathjax{0\lt m\lt 1};であることがわかります。
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小さい円は2直線に接しているため、中心は角の二等分線上にあります。特に中心の&mathjax{y};座標は&mathjax{m};です。
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中心の座標は&mathjax{(s,m),0\leq s\leq \sqrt{1-m^2}};と書くことができます。
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このとき、円の半径は点と直線の距離を使うと&mathjax{\frac{ms}{\sqrt{1+m^2}}};となります。
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よって、これが大きな円とも接しているため、&mathjax{\sqrt{s^2+m^2}+\frac{ms}{\sqrt{1+m^2}}=1};となります。
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これを整理すると&mathjax{s^2+m^2=1+\frac{m^2s^2}{1+m^2}-\frac{2ms}{\sqrt{1+m^2}}};となって&mathjax{s};についての2次方程式になります。
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これを解くと（いくつかの解を取捨選択すると）&mathjax{s=(1-m)\sqrt{1+m^2}};となります。
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よって、最終的に円の中心は&mathjax{(1-m)\sqrt{1+m^2}};で半径は&mathjax{m(1-m)};となります。
よって、最終的に円の中心は&mathjax{(\pm (1-m)\sqrt{1+m^2},\pm m)};（複合任意）で半径は&mathjax{m(1-m)};となります。
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よって&mathjax{m=\frac{1}{2}};とするのが最適で、このとき円の中心は&mathjax{\left(\pm \frac{\sqrt{5}}{4},\pm \frac{1}{2}\right)};（複合任意）で半径は&mathjax{\frac{1}{4}};です。そうなるように作られているのでした。
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(作問: Lim)