shakayami のバックアップ(No.7)

自己紹介

理学部数理科学系B4

 

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自作問題

 
  • 2019年NF模試理系第1回の問5
  • 2019年NF模試文系第1回の問1

問1

\( A \)を\( n \)次の実数係数の正定値な対称行列とする。このとき、

\[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel},\inf_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel} \]

は共に\( A \)の固有値であることを示せ

 

問2

\( k \)を正の整数とし、関数\( f[0,1]\to\mathbb{R} \)は\( C^k \)級である。
ここで、\( f(1)=f'(1)=\cdots=f^{(k-1)}(1)=0 \)が成立しているものとする。
このとき、以下の極限値を求めよ。

\[ \lim_{n\to\infty}n^{k+1}\int_{0}^{1}x^nf(x)dx \]
 

問3

\( \mathbb{F}_7 \)を位数7の有限体とする。このとき、
\( \mathbb{F}_7 \)係数の3次の既約モニック多項式はいくつあるかを求めよ。

 

問4

\( \mathbb{F}_p \)を位数\( p \)の有限体とする。\( \mathbb{F}_p \)係数の\( n \)次正方行列を各成分の値を\( p \)面サイコロを振って出した値で決める。このときできた行列が正則である確率を\( a_n \)とおくと、\( \lim_{n\to\infty}a_n \)はある値\( \alpha \)に収束して、かつ\( \alpha \in (0,1) \)を満たすことを示せ。

 

問5

自然数\( n \)について、以下の等式を示せ。

\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{({}_nC_{k})^2}{{}_{2n}C_{2k}}=\frac{4^n}{{}_{2n}C_n} \]

解答

問1

\( A \)の固有値を\( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \)、対応する固有ベクトルを\( v_1,\ldots,v_n \)とする。ここで、\( A \)が正定値・対称行列より、\( 0<\lambda_1\leq \cdots\leq\lambda_n \)であり、\( \{v_1,\ldots,v_n\} \)は\( \mathbb{R}^n \)の正規直交基底としてもよい。このとき、\( x=x_1v_1+\cdots+x_nv_n \)（ただし\( x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R} \)）とすると

\[ \frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel}=\sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}} \]

となっている。よって、

\[ \lambda_1=\sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_1}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}\leq \sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}\leq \sqrt{\frac{{\lambda_n}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}=\lambda_n \]

となっている。
よって、\( (x_1,\ldots,x_n)=(1,0,\ldots,0) \)と\( (x_1,\ldots,x_n)=(0,\ldots,0,1) \)の場合を考えることでsupとinfが求まる。

問2

問3

\[ x^{343}-x \]

は、\( x^7-x \)に\( \mathbb{F}_7[x] \)上の三次既約モニック多項式を全部掛けたものと等しくなる。

よって、両辺の次数を比較することで答えがわかる。

解を\( n \)とおくと、\( 343=7+3n \)より、\( n=112 \)となる。

問4

\[ a_n=\prod_{i=1}^{n}\left(1-\frac{1}{p^i}\right) \]

より、

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p^n}\right)=\exp\left(\sum_{n=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{1}{p^n}\right)\right) \]

となる。expの中身の級数が収束することはダランベールの判定法より保証される。

問5

\[ {}_{2n}C_n\frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_{2k}}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{k!\cdot k!\cdot (n-k)!\cdot (n-k)!}\cdot\frac{(2k)!(2n-2k)!}{(2n)!} \]
\[ =\frac{(2k)!}{k!\cdot k!}\cdot \frac{(2n-2k)!}{(n-k)!\cdot (n-k)!} \]
\[ ={}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k} \]

これを\( 0\leq k\leq n \)で総和を取ったものが\( 4^n \)に等しいことを示せればよい。

ここで、\( \frac{1}{\sqrt{1-4x}} \)のテイラー展開は

\[ \frac{1}{\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^{\infty}{}_{2n}C_nx^n \]

となっている。ただし、\( |x|<1/4 \)である。これの二乗を畳み込みで計算すると、

\[ \frac{1}{1-4x}=\left(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\right)^2=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k}\right)x^n \]

ここで、

\[ \frac{1}{1-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}4^nx^n \]

であるため、

\[ \sum_{n=0}^{\infty}4^nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k}\right)x^n \]

となり、係数を比較することで

\[ 4^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k} \]

を得る。