shakayami のバックアップ(No.3)

自己紹介

理学部数理科学系B4

 

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自作問題

  • 2019年NFビラ問1
  • 2020年新歓ビラ問1
  • 2019年NF模試理系第1回の問5
  • 2019年NF模試文系第1回の問1
     

問1

\( A \)を\( n \)次の実数係数の正定値な対称行列とする。このとき、

\[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel},\inf_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel} \]

は共に\( A \)の固有値であることを示せ

 

問2

\( k \)を正の整数とし、関数\( f[0,1]\to\mathbb{R} \)は\( C^k \)級である。
ここで、\( f(1)=f'(1)=\cdots=f^{(k-1)}(1)=0 \)が成立しているものとする。
このとき、以下の極限値を求めよ。

\[ \lim_{n\to\infty}n^{k+1}\int_{0}^{1}x^nf(x)dx \]
 

問3

\( \mathbb{F}_7 \)を位数7の有限体とする。このとき、
\( \mathbb{F}_7 \)係数の3次の既約モニック多項式はいくつあるかを求めよ。

 

問4

\( \mathbb{F}_p \)を位数\( p \)の有限体とする。\( \mathbb{F}_p \)係数の\( n \)次正方行列を各成分の値を\( p \)面サイコロを振って出した値で決める。このときできた行列が正則である確率を\( a_n \)とおくと、\( \lim_{n\to\infty}a_n \)はある値\( \alpha \)に収束して、かつ\( \alpha \in (0,1) \)を満たすことを示せ。

 

問5

自然数\( n \)について、以下の等式を示せ。

\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{({}_nC_{k})^2}{{}_{2n}C_{2k}}=\frac{4^n}{{}_{2n}C_n} \]