びゃっこ のバックアップ(No.1)

自己紹介

理学部1回生　数理科学系に行きたい

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自作問題

1.

　1辺の長さが \( x \)の正方形の内部に, 半径が1の四分円を2つ, それぞれ対角に重なるようにおく.

　2つの四分円の共通部分の面積を \( S \)とするとき

　\( \displaystyle \lim_{x\to\sqrt{2}-0} \dfrac{S^2}{(\sqrt{2}-x)^3} \)

　を求めよ.

 

2.

　\( n \)を自然数, \( a \)を正の実数として

　\( A_n=\dfrac{n^{a+1}}{1^a+2^a+3^a+\cdots+n^a} \)

　と定める. このとき, \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n \)を求めよ.

 

3.

　\( a_1=\alpha, a_{n+1}=\begin{cases}
\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_n}-a_n\right) & (a_n\neq0)\\
0 & (a_n=0)
\end{cases} \)
　とする. 常に\( a_n\neq0 \)となるように\( \alpha \)をうまく定めたとき, 数列\( \{a_n\} \)の一般項を求めよ.