*自己紹介 [#sb65ffd2]
理学部数理科学系M1
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twitter:[[@shakayami_>https://www.twitter.com/shakayami_]]
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homepage:[[homepage of shakayami>https://shakayami.github.io/]]
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blog1:[[shakayamiの日記>https://shakayami.hatenablog.com/]]
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blog2:[[数学についていろいろ解説するブログ>https://shakayami-math.hatenablog.com/]]
*自作問題 [#va52b371]
-2019年NFビラ問1
-2020年新歓ビラ問1
-2020年NFビラ問4
-2021新歓ビラ問6
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-2019年NF模試理系第1回の問5
-2019年NF模試文系第1回の問1
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**問1 [#i8f97478]
&mathjax{A};を&mathjax{n};次の実数係数の正定値な対称行列とする。このとき、
#mathjax(\sup_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel},\inf_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel})
は共に&mathjax{A};の固有値であることを示せ
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**問2 [#ca9bbe4b]
&mathjax{k};を正の整数とし、関数&mathjax{f[0,1]\to\mathbb{R}};は&mathjax{C^k};級である。&br;ここで、&mathjax{f(1)=f'(1)=\cdots=f^{(k-1)}(1)=0};が成立しているものとする。&br;このとき、以下の極限値を求めよ。
#mathjax(\lim_{n\to\infty}n^{k+1}\int_{0}^{1}x^nf(x)dx)
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**問3 [#kc1f21c6]
&mathjax{\mathbb{F}_7};を位数7の有限体とする。このとき、&br;&mathjax{\mathbb{F}_7};係数の3次の既約モニック多項式はいくつあるかを求めよ。
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**問4 [#h366dafe]
&mathjax{\mathbb{F}_p};を位数&mathjax{p};の有限体とする。&mathjax{\mathbb{F}_p};係数の&mathjax{n};次正方行列を各成分の値を&mathjax{p};面サイコロを振って出した値で決める。このときできた行列が正則である確率を&mathjax{a_n};とおくと、&mathjax{\lim_{n\to\infty}a_n};はある値&mathjax{\alpha};に収束して、かつ&mathjax{\alpha \in (0,1)};を満たすことを示せ。
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**問5 [#i556fa09]
自然数&mathjax{n};について、以下の等式を示せ。
#mathjax(\sum_{k=0}^{n}\frac{({}_nC_{k})^2}{{}_{2n}C_{2k}}=\frac{4^n}{{}_{2n}C_n})
*解答 [#jdef946a]
**問1 [#q10bad2e]
&mathjax{A};の固有値を&mathjax{\lambda_1,\ldots,\lambda_n};、対応する固有ベクトルを&mathjax{v_1,\ldots,v_n};とする。ここで、&mathjax{A};が正定値・対称行列より、&mathjax{0<\lambda_1\leq \cdots\leq\lambda_n};であり、&mathjax{\{v_1,\ldots,v_n\}};は&mathjax{\mathbb{R}^n};の正規直交基底としてもよい。このとき、&mathjax{x=x_1v_1+\cdots+x_nv_n};（ただし&mathjax{x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}};）とすると
#mathjax(\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel}=\sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}})
となっている。よって、
#mathjax(\lambda_1=\sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_1}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}\leq \sqrt{\frac{{\lambda_1}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}\leq \sqrt{\frac{{\lambda_n}^2{x_1}^2+\cdots+{\lambda_n}^2{x_n}^2}{{x_1}^2+\cdots+{x_n}^2}}=\lambda_n)
となっている。&br;よって、&mathjax{(x_1,\ldots,x_n)=(1,0,\ldots,0)};と&mathjax{(x_1,\ldots,x_n)=(0,\ldots,0,1)};の場合を考えることでsupとinfが求まる。
**問2 [#i4e34fd4]
後で証明を書く予定です。
答えは確か&mathjax{(-1)^kf^{(k)}(1)};になるはずです。
k回くらい部分積分をすればOKです。
**問3 [#ac912992]
#mathjax(x^{343}-x)
は、&mathjax{x^7-x};に&mathjax{\mathbb{F}_7[x]};上の三次既約モニック多項式を全部掛けたものと等しくなる。
よって、両辺の次数を比較することで答えがわかる。
解を&mathjax{n};とおくと、&mathjax{343=7+3n};より、&mathjax{n=112};となる。
**問4 [#a1c19864]
#mathjax(a_n=\prod_{i=1}^{n}\left(1-\frac{1}{p^i}\right))
より、
#mathjax(\lim_{n\to\infty}a_n=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p^n}\right)=\exp\left(\sum_{n=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{1}{p^n}\right)\right))
となる。expの中身の級数が収束することはダランベールの判定法より保証される。
**問5 [#k2508672]
#mathjax({}_{2n}C_n\frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_{2k}}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{k!\cdot k!\cdot (n-k)!\cdot (n-k)!}\cdot\frac{(2k)!(2n-2k)!}{(2n)!})
#mathjax(=\frac{(2k)!}{k!\cdot k!}\cdot \frac{(2n-2k)!}{(n-k)!\cdot (n-k)!})
#mathjax(={}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k})
これを&mathjax{0\leq k\leq n};で総和を取ったものが&mathjax{4^n};に等しいことを示せればよい。
ここで、&mathjax{\frac{1}{\sqrt{1-4x}}};のテイラー展開は
#mathjax(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^{\infty}{}_{2n}C_nx^n)
となっている。ただし、&mathjax{|x|<1/4};である。これの二乗を畳み込みで計算すると、
#mathjax(\frac{1}{1-4x}=\left(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\right)^2=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k}\right)x^n)
ここで、
#mathjax(\frac{1}{1-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}4^nx^n)
であるため、
#mathjax(\sum_{n=0}^{\infty}4^nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k}\right)x^n)
となり、係数を比較することで
#mathjax(4^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{2k}C_k\cdot{}_{2n-2k}C_{n-k})
を得る。
