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*自己紹介 [#sb65ffd2]
理学部数理科学系B4
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twitter:[[@shakayami_>https://www.twitter.com/shakayami_]]
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homepage:[[homepage of shakayami>https://shakayami.github.io/]]
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blog1:[[shakayamiの日記>https://shakayami.hatenablog.com/]]
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blog2:[[数学についていろいろ解説するブログ>https://shakayami-math.hatenablog.com/]]
*自作問題 [#va52b371]
-2019年NFビラ問1
-2020年新歓ビラ問1
-2019年NF模試理系第1回の問5
-2019年NF模試文系第1回の問1
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**問1 [#i8f97478]
&mathjax{A};を&mathjax{n};次の実数係数の正定値な対称行列とする。このとき、
#mathjax(\sup_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel},\inf_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}\frac{\parallel Ax\parallel }{\parallel x\parallel})
は共に&mathjax{A};の固有値であることを示せ
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**問2 [#ca9bbe4b]
&mathjax{k};を正の整数とし、関数&mathjax{f[0,1]\to\mathbb{R}};は&mathjax{C^k};級である。&br;ここで、&mathjax{f(1)=f'(1)=\cdots=f^{(k-1)}(1)=0};が成立しているものとする。&br;このとき、以下の極限値を求めよ。
#mathjax(\lim_{n\to\infty}n^{k+1}\int_{0}^{1}x^nf(x)dx)
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**問3 [#kc1f21c6]
&mathjax{\mathbb{F}_7};を位数7の有限体とする。このとき、&br;&mathjax{\mathbb{F}_7};係数の3次の既約モニック多項式はいくつあるかを求めよ。
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**問4 [#h366dafe]
&mathjax{\mathbb{F}_p};を位数&mathjax{p};の有限体とする。&mathjax{\mathbb{F}_p};係数の&mathjax{n};次正方行列を各成分の値を&mathjax{p};面サイコロを振って出した値で決める。このときできた行列が正則である確率を&mathjax{a_n};とおくと、&mathjax{\lim_{n\to\infty}a_n};はある値&mathjax{\alpha};に収束して、かつ&mathjax{\alpha \in (0,1)};を満たすことを示せ。
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**問5 [#i556fa09]
自然数&mathjax{n};について、以下の等式を示せ。
#mathjax(\sum_{k=0}^{n}\frac{({}_nC_{k})^2}{{}_{2n}C_{2k}}=\frac{4^n}{{}_{2n}C_n})
